Aide pour la technique d'un point fixe
Bonjour
pappus et à tous
Je recherche la technique du point fixe qui peut exister entre deux points M et M’ liés homographiquement…Je formule certainement mal ma question… comment se détaille l’approche ? Référence ?
Un début de réponse serait la bienvenue…
Sincèrement
Jean-Louis.
Je recherche la technique du point fixe qui peut exister entre deux points M et M’ liés homographiquement…Je formule certainement mal ma question… comment se détaille l’approche ? Référence ?
Un début de réponse serait la bienvenue…
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
Bonjour,
mon problème :
1. ABC un triangle
2. (O) un cercle passant par B et C tel que A en soit à l’intérieur
3. (Oa) le cercle tangent à (AB), (AC) et extérieurement tangent à (O)
4. (I) le cercle inscrit à ABC)
5. U le centre externe d’homothétie entre (I) et (O)
6. P un point de [BC]
7. Q, R les points de contact des tangentes issues de P avec (Oa)
8. M le point de contact du cercle tangent à[(PQ[, [PB] et tangent intérieurement à (O)
9. N le point de contact du cercle tangent à [PR[, [PC] et tangent intérieurement à (O)
Question, (MN) passe par U.
Je propose ma démarche :
1. par construction M et N sont liés homographiquement
2. lorsque P est en B, N est en N* et B, U, N* sont alignés (théorème de Monge ou d’Alembert)
3. lorsque P est en C, M est en M* et B, U, N* sont alignés (théorème de Monge ou d’Alembert)
4. en conséquence, (MN) passe par U.
Je ne sais pas si le 1. est correct… Qu’en pensez-vous ?
Sincèrement
Jean-Louis
Bonjour pappus
Merci pour ta réponse…
Ce qui est fixe : ABC, (I), (O), (Oa)
Ce qui bouge : P, M, N
Je précise la construction :
1. partons de M
2. nous pouvons construire (Ob) puis X centre d’homothétie interne de (Ob) et (Oa)
3. puis P à partir de X, puis R à partir de P
4. U est le point d’intersection de [PR[ avec (O)
5. I* centre du cercle inscrit du triangle UPC
6. V point d’intersection de la médiatrice de [UC] avec arc CBU
7. N est le second point d’intersection de (VI*) avec (O).
Je n'utilise que des droites et cercles pour passer de M en N.
Cela convient-il pour conclure que M et N sont liés homographiquement?
Merci pour ton aide ainsi que pour la figure.
Avec toutes mes amitiés
Jean-Louis.
T est le point d'intersection de la médiatrice de [BC] avec l'arc BC comme sur la figure
W est le point d'intersection de (MT) et (BC)
Ob est l'intersection de la médiatrice de [MW] et de la perpendiculaire à (BC) en W
on obtient ainsi la cercle (Ob)
puis on construit X...puis P
Amicalement
Jean-Louis
Quel est la définition de ton point $c$? (Tu parles de la médiatrice de $[Bc]$!)
Puis celle de $X$?
pappus
j'ai corrigé pour la médiatrice de [BC]
X est le centre interne d'homothétie de (Ob) et (Oa).comme dans mon premier message.
Jean-Louis
Suite à ceci :
La théorie des enveloppes nous indique que les coordonnées du point de contact $M$ vérifient le système : $$\begin{cases}\dfrac{x}{t}+\dfrac{t}{k^2}y=1\\-\dfrac{x}{t^2}+\dfrac{y}{k^2}=0\end{cases}$$
$\begin{cases}x=\dfrac{t}{2}\\y=\dfrac{k^2}{2t}\end{cases}$
Le point $M$ milieu de $[mm']$ décrit l'hyperbole d'équation $xy=\dfrac{k^2}{4}$ d'asymptotes $D$ et $D'$.
On peut aussi remarquer que ses foyers sont les points d'intersection d'une bissectrice de $D$,$D'$ et du cercle (d'inversion ?) de centre $O$ et de rayon $k$.
Il reste que je me suis arrêté là : pas de lien avec les points fixes de l'homographie qui prolonge cette transformation de droite à droite au plan ce qui, je pense, est le sujet principal.
La peur au ventre ?
La peur de qui ou de quoi ?
Pas de moi en tout cas, on se connait bien tous les deux !
Tu es allé pratiquement jusqu'au bout.
Il te suffit de me dire la nature du quadrangle $(m,m',F,F')$ c'est à dire de l'affubler de l'adjectif adéquat puis de conclure!
pappus
J'imagine qu'on parle d'un quadrangle harmonique.
En partant d'une homographie directe d'écriture $z'=\dfrac{az+b}{cz+d}$, je suis tombé sans grande surprise sur l'homographie :
composée commutative de l'inversion de pôle $O$, de puissance $k^2$ et de la symétrie définie par l'axe focal.
Ses points fixes sont $F$ et $F'$.
Amitiés.
[Edit] Figure complétée.
Tu as tout compris !
Amitiés.
pappus.
Amitiés.
pour revenir à mon problème, je me pose la question suivante : la correspondance entre M et N ne serait-elle une involution ?
Sincèrement
jean-Louis
Je reviens sur le premier message de pappus dans ce fil. J'aime bien "toucher les choses avec les mains".
Bref, sans prouver quoique ce soit, j'ai fait travailler GeoGebra à ma place.
Soit donc deux droites $D$ et $D'$ sécantes en $O$ et une homographie directe $f$ de $D$ sur $D'$.
La donnée de deux points homologues $m\in D$ et $m'\in D'$ la détermine complétement.
En choisissant un repère orthonormé d'origine $O$ dont l'axe des abscisses est $D$ (orienté comme on veut), j'ai tenté de déterminer le prolongement de $f$ au plan complexe avec l'homographie directe d'écriture $z'=\dfrac{az+b}{cz+d}$ où $c\not =0$ et $b\not =0$.
Je suis tombé sur ce type d'homographie d'écriture :
$$z'=\text{e}^{i\theta}\dfrac{uz+v}{z+w}\text{ où }u,v,w\text{ sont des réels et }\theta=(D,D')$$
Pour la suite, GeoGebra a pris le relai avec une figure dans le cas où la conique inscrite est une ellipse :
On peut y voir les points limites objet et image $L_O$ et $L_I$.
En désignant par $F$ et $F'$ les points fixes de l'homographie, on sait que le quadrilatère $L_OF'L_IF$ est un parallélogramme.
On a immédiatement le centre $\Omega$ de la conique (ellipse ou hyperbole) milieu de $[L_OL_I]$.
Construire ces points fixes foyers de la conique, c'est une autre affaire.
- Certainement une utilisation du birapport lié à la conjugaison via des similitudes directes (j'ai déjà vu mais oublié...)
- Mais aussi, compte tenu que $F$ et $F'$ sont isogonaux par rapport au triangle $Omm'$, une construction de deux points isogonaux dont on connait le milieu (que j'ai déjà vue aussi voire postée ici même).
Ce message est là uniquement pour vous communiquer mes élucubrations : je me suis fait plaisir en jouant avec GeoGebra.