Restriction d'une permutation
Bonjour
À partir de la restriction je ne comprends plus rien au corrigé.
Pas compris la définition de cette application.
Pas compris pourquoi la restriction au complémentaire $C$ du support de $\sigma$ induit une bijection sur $C'$.
En plus à la fin je ne comprends pas en quoi on a trouvé une permutation $\rho$ qui conjugue $\sigma$ en $\sigma '$.
Je ne comprends pas comment on repasse de la restriction à $\rho$.
Bref, je crois que je n'ai rien compris du tout à ce raisonnement.
À partir de la restriction je ne comprends plus rien au corrigé.
Pas compris la définition de cette application.
Pas compris pourquoi la restriction au complémentaire $C$ du support de $\sigma$ induit une bijection sur $C'$.
En plus à la fin je ne comprends pas en quoi on a trouvé une permutation $\rho$ qui conjugue $\sigma$ en $\sigma '$.
Je ne comprends pas comment on repasse de la restriction à $\rho$.
Bref, je crois que je n'ai rien compris du tout à ce raisonnement.
Réponses
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Supposons que $A$ soit une ensemble fini, que $B$ soit un sous-ensemble strict de $A$ et que $\rho : B \longrightarrow A$ soit une injection. Alors, en numérotant $x_1,\ldots, x_r$ les éléments de $A\setminus B$ et $y_1,\ldots,y_r$ les éléments de $A\setminus \rho(B)$ on peut construire une permutation de $A$ qui prolonge $\rho$ en envoyant $x_i$ sur $y_i$ pour $i=1,\ldots,r$ par exemple.
Le résultat reste vrai si $A=B$ (parce que $\rho$ est déjà une permutation).
Par hypothèse, tes cycles $c_i$ et $c_i'$ sont conjugués (selon la question b-a), donc il existe des permutations $\rho_i$ telles que $\rho_i c_i \rho_i^{-1} = c_i'$. On définit ensuite une bijection $\rho : \operatorname{supp} \sigma \longrightarrow \operatorname{supp} \sigma'$ par $\rho(x)= \rho_i(x)$ si $x\in \operatorname{supp} c_i$, que l'on prolonge immédiatement en permutation $\rho \in S_n$. Ainsi, par construction $\rho c_i \rho^{-1} = c_i'$ pour tout $i$. Enfin, par télescopage $\rho \sigma \rho^{-1} = \sigma'$. -
La rédaction de ces corrigés est vraiment médiocre et fait perdre un temps fou au lecteur.
Pourtant l'auteur est maitre de conférence à l'université. C'est triste.
@SkyMtn
Désolé je n'ai rien compris à ton explication. Les 4 premières lignes je n'ai absolument rien compris et la suite c'est comme dans le corrigé je ne comprends pas l'histoire de la restriction et du prolongement.
@JLapin
Même sur un exemple je n'y arrive pas.
Soit $n=10$.
$\sigma=(1 \ 2 \ 3) (7 \ 8 \ 9 \ 10)=c_1 c_2$
$\sigma'=(4 \ 5 \ 6) ( 1 \ 2 \ 3 \ 7)=c_1 ' c_2 '$
Je n'ai pas compris qui est $\rho_{ | Supp c_i}$
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OShine a dit :La rédaction de ces corrigés est vraiment médiocre et fait perdre un temps fou au lecteur.
Pourtant l'auteur est maitre de conférence à l'université. C'est triste.Tu es insultant au premier degré. C'est absolument désolant.Arrête de cracher ta haine auprès des auteurs de livres. -
C'est peut-être plus clair si on construit $\rho$ directement :Les cycles peuvent s'écrire $c_i = \left(a_{i,1} \ \cdots \ a_{i,\ell(i)}\right)$ et $c'_i = \left(a'_{i,1} \ \cdots \ a'_{i,\ell(i)}\right)$ pour $1 \leq i \leq k$, et on peut garder cette notation même si la longueur $\ell(i)$ vaut $1$. Les supports des cycles (en comptant ceux de longueur 1) forment une partition de $\llbracket 1,n\rrbracket$ donc il existe une unique permutation $\rho \in \mathfrak S_n$ telle que $\rho(a_{i,j}) = a'_{i,j}$ pour tout couple $(i,j)$ tel que $1 \leq j \leq \ell(i)$. On vérifie alors que $\rho \circ c_i \circ \rho^{-1} = c_i'$ pour tout $i$, d'où finalement $\rho \circ \sigma \circ \rho^{-1} = \sigma'$ par composition.Remarque. L'ensemble $C$ du corrigé correspond aux cycles de longueur 1 (points fixes) de $\sigma$.
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@Pomme de terre
Tu parles de supports de cycles de longueur $1$ mais les cycles de longueur $1$ sont des points fixes donc n'appartiennent pas au support.
Sinon ok pour cette preuve.
Si $\sigma=c_1 \cdots c_p$ et $\tau=c_1 ' \cdots c_p '$ sont les décompositions de $\sigma$ et $\tau$ en cycles disjoints de même longueur.
$c_i=(x_{i1} \ x_{i2} \ \cdots \ x_{iki})$ et $c_i '=(y_{i1} \ y_{i2} \ \cdots \ y_{iki})$.
Soit $\rho \in \mathfrak{S}_n$ tel que $\forall i \in [|1,p|] \ \ \forall j \in [|1,k_i|] \ \rho(x_{ij})=y_{ij}$.
Alors $\boxed{\tau=\rho \sigma \rho^{-1}}$.
Ce que je ne comprends pas dans le corrigé c'est pourquoi la restriction à $C$ induit une bijection sur $C'$.
Pour $n=10$, $\sigma=(1 2 3)(7 8 9 10)=c_1 c_2 $ et $\sigma'=(4 5 6)(1 2 3 7) =c_1 ' c_2 '$ je n'arrive pas à trouver le $\rho$ du corrigé.
On a $C=\{4,5,6 \}$ et $C'=\{8,9,10 \}$.
Je ne comprends pas ce que signifie le $\rho_{|Supp \ c_i} = \rho_{i | Supp \ c_i}$ et comment l'appliquer à l'exemple.
Pourquoi $\rho$ conjugue $\sigma$ en $\sigma '$ ?
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L'auteur explique simplement que pour définir uene fonction bijective, il suffit de la connaître en tous les points de l'ensemble de départ !!
Si tu connais ce qu'elle fait sur chacun des supports des cycles disjoints et aussi sur tous les points fixes, tu sais ce qu'elle fait partout.Tu te fais vraiment une montagne d'une taupinière. -
OShine a dit :La rédaction de ces corrigés est vraiment médiocre et fait perdre un temps fou au lecteur.
Pourtant l'auteur est maitre de conférence à l'université. C'est triste.
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Bonjour!
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