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mathspe

Bonjour. 

On pose $P_j=\frac{\partial}{\partial \xi_j}$ et $Q_j=2 i \xi_j$ avec $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)$ et $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$. Montrer que :

1. $\exp \left(\sum_{j=1}^n x_j P_j\right)(f)(\xi)=f(\xi+x)$.

2. $\exp \left(\sum_{j=1}^n x_j Q_j\right)(f)(\xi)=\exp (2 i(x, \xi)) f(\xi)$.

où $(x, \xi)=\sum_{j=1}^n x_j \xi_j$ et $i^2=-1$.
des idées SVP et merci.

LOU16

Bonjour,

Pour éviter tout problème de convergence, je me cantonne aux eaux douces de l'algèbre des polynômes et décide que $$f\in E=\R[X_1,X_2,\dots X_n],\:\:\:\xi_i, x_i\in\R.$$

$\bullet$ Dans ces conditions, je vois dans $1)$ une expression de la formule de Taylor: $f(\xi+x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{df_{\xi}^k (x^k)}{k!}$

Le calcul suivant utilise abondamment le fait que les  $P_i \in \mathcal L(E)$ commutent, et sont tels que:$$ \:\forall f\in E,\exists k\in \N,\:\:\forall i\in[\![1; n]\!],\: P_i^k(f)=0.$$

$f(\xi+x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{df_{\xi}^k(x^k)}{k!} =\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac 1{k!}\sum_{k_1 +k_2+...k_n=k}\dfrac{k!}{\prod_{i=1}^n k_i!}\left(\prod_{i=1}^nx_i^{k_i}P_i^{k_i}\right) (f)(\xi)=\sum_{(k_1,k_2,...k_n) \in \N^n}\left(\prod_{i=1}^n \dfrac {x_i^{k_i}P_i^{k_i}}{k_i!}\right)(f)(\xi)$

$f(\xi+x) =\displaystyle \prod_{i=1}^n\sum _{k=0}^{+\infty}\left(\dfrac {(x_i P_i)^k}{k!}\right)(f)(\xi) =\prod_{i=1}^n \exp(x_iP_i)(f)(\xi) =\exp\left(\sum_{i=1}^n x_iP_i\right) (f)(\xi)\:\:\square$

$\bullet $ Le $2)$ est beaucoup plus clair: $\:\displaystyle\sum_{j=1}^nx_jQ_j $ est l'opérateur qui multiplie $f(\xi)$ par $ \displaystyle\sum_{j=1}^n2\mathrm {i}x_j\xi_j=2\mathrm i\langle x,\xi\rangle.$

$\exp\left(\displaystyle\sum_{j=1}^nx_jQ_j\right)\: $ multiplie alors $f(\xi)$ par $\exp\left(2\mathrm i\langle x,\xi\rangle\right).$

mathspe

Merco infiniment@Lou16