Support d'une permutation
Bonsoir
Soit $\sigma=c_1 \circ \cdots \circ c_k$ où les $c_i , 1 \leq i \leq k$ sont des cycles à supports disjoints et $\rho$ une permutation.
Soit $\sigma=c_1 \circ \cdots \circ c_k$ où les $c_i , 1 \leq i \leq k$ sont des cycles à supports disjoints et $\rho$ une permutation.
Quelle est la décomposition de $\rho \sigma \rho^{-1}$ en cycles à supports disjoints ?
J'aimerais savoir si ma preuve est correcte ou s'il y a plus rapide.
J'écris $\boxed{\rho \sigma \rho^{-1} = ( \rho c_1 \rho^{-1} ) \cdots ( \rho c_k \rho^{-1}}$.
Soient $i,j \in [|1,k|]$ avec $i \ne j$, on doit montrer que $Supp ( \rho c_i \rho^{-1}) \cap Supp ( \rho c_j \rho^{-1})= \emptyset$.
Soit $c_i=(a \ b)$ et $c_j=(b \ c)$. On a $\rho c_i \rho^{1}=(\rho(a) \ \rho(b))$ et $\rho c_j \rho^{1}=(\rho(c) \ \rho(d))$
$Supp ( \rho c_i \rho^{-1}) \cap Supp ( \rho c_j \rho^{-1})= \{\rho(a), \rho(b) \} \cap \{ \rho(c), \rho(d) \}$
Si $\rho(a) \in \{ \rho(c),\rho(d) \}$, on aurait soit $a=c$ soit $a=d$ ce qui est impossible car $c_i$ et $c_j$ sont à supports disjoints.
Même raisonnement pour $\rho(b)$.
J'écris $\boxed{\rho \sigma \rho^{-1} = ( \rho c_1 \rho^{-1} ) \cdots ( \rho c_k \rho^{-1}}$.
Soient $i,j \in [|1,k|]$ avec $i \ne j$, on doit montrer que $Supp ( \rho c_i \rho^{-1}) \cap Supp ( \rho c_j \rho^{-1})= \emptyset$.
Soit $c_i=(a \ b)$ et $c_j=(b \ c)$. On a $\rho c_i \rho^{1}=(\rho(a) \ \rho(b))$ et $\rho c_j \rho^{1}=(\rho(c) \ \rho(d))$
$Supp ( \rho c_i \rho^{-1}) \cap Supp ( \rho c_j \rho^{-1})= \{\rho(a), \rho(b) \} \cap \{ \rho(c), \rho(d) \}$
Si $\rho(a) \in \{ \rho(c),\rho(d) \}$, on aurait soit $a=c$ soit $a=d$ ce qui est impossible car $c_i$ et $c_j$ sont à supports disjoints.
Même raisonnement pour $\rho(b)$.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Donc si $\sigma, \tau$ ont des supports disjoints, il en est de même pour $\rho \sigma \rho^{-1}$ et $\rho \tau \rho^{-1}$.
+ Toujours d'après le principe de conjugaison, si $\gamma = (a_1 ~\cdots~a_r)$ est un cycle, alors $\rho \gamma \rho^{-1} = (\rho(a_1)~\cdots~\rho(a_r))$.
1) C'est le cours qui le dit.
2) Je me suis trompé, ça peut être un cycle quelconque.
Démontrons que $Supp \ \rho \sigma \rho^{-1}= \rho( supp \ \sigma)$.
On a : $x \notin Supp \ \rho \sigma \rho^{-1} \iff \rho \sigma \rho^{-1} (x)=x \iff \sigma \rho^{-1}(x)=\rho^{-1} (x) \iff \rho^{-1} (x) \notin Supp(\sigma) \iff x \notin \rho( Supp \ \sigma)$.
Donc : $\boxed{Supp \ \rho \sigma \rho^{-1}= \rho( supp \ \sigma)}$.
La dernière équivalence utilise que :
- $x \in f(A) \implies f^{-1} (x) \in A$
- $f^{-1} (x) \in A \implies x \in f(A)$.
Il me semblent que ces implications sont triviales si $f$ est bijective car on a toujours $x \in A \implies f(x) \in f(A)$.