Régularisation de fonctions
Bonjour
J'aimerais construire une fonction continue $g$ sur un segment de courbe $\Gamma$ de $\mathbb{R}^2$ (et je note toujours $\Gamma$ la paramétrisation sur $[0,1] $ de cette courbe qui est d'ailleurs différentiable mais pas $C^1$) tel que $$ \int_0^1 g(\Gamma(t)) \cdot \Gamma'(t) dt = \int_0^1 ||\Gamma'(t)|| dt.$$
J'ai pensé à prendre $ g(\Gamma(t))= \frac{\Gamma'(t)}{ ||\Gamma'(t)||}$ pour tout $ t \in [0,1] $ mais comme $\Gamma'$ n'est pas continue j'ai des problème de continuité. Est-ce qu'il est possible de résoudre ce problème en utilisant une fonction régularisante par exemple ?
J'aimerais construire une fonction continue $g$ sur un segment de courbe $\Gamma$ de $\mathbb{R}^2$ (et je note toujours $\Gamma$ la paramétrisation sur $[0,1] $ de cette courbe qui est d'ailleurs différentiable mais pas $C^1$) tel que $$ \int_0^1 g(\Gamma(t)) \cdot \Gamma'(t) dt = \int_0^1 ||\Gamma'(t)|| dt.$$
J'ai pensé à prendre $ g(\Gamma(t))= \frac{\Gamma'(t)}{ ||\Gamma'(t)||}$ pour tout $ t \in [0,1] $ mais comme $\Gamma'$ n'est pas continue j'ai des problème de continuité. Est-ce qu'il est possible de résoudre ce problème en utilisant une fonction régularisante par exemple ?
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Réponses
Par contre si $g$ est nulle le membre de gauche l'est aussi. Mon idée est de contruire $g$ sur les points de $\Gamma$ et ensuite je pourrais l'étendre ailleurs.
Je ne comprends pas bien votre remarque. Néanmoins j'aimerais que $g$ soit non nulle et de norme $1$ si possible mais pas obligatoirement.
Ce poste pourrait aussi répondre a votre question https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/120710#Comment_120710