Calcul d'intégrale

Anonymously

Soit $h$ la fonction $(x,t)\longrightarrow h(x,t)=\dfrac{xt\sin(t}{x^2-2x\cos(t)+1}$ et $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}\frac{t\sin t(t)}{1-\cos(t)}.$

1.  Montrer que $I$ est convergente. Dans ce qui suit, nous présenterons deux méthodes de calcul de $I$.
2.  Montrer que l'application H: $x\rightarrow H(x)=\int_{0}^{\pi} \frac{xt\sin(t}{x^2-2x\cos(t)+1}dt$ est continue sur $[0,1].$
   
3.  Déterminer les suites $(s_n)$ vérifiant la relation de récurrence suivante :
   $ \forall n \in \mathbb{N},\ s_{n+2}-2\cos(t)s_{n+1}+s_{n}=0$, pour $t \in\, ]0,\pi[.$
   
4. Montrer que pour $t \in [0,\pi]$ l'application $x\rightarrow h(x,t)$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
   Soit alors $\sum_0^{\infty} a_n(t)x^n$ ce développement en série entière et $R$ son rayon de convergence.
   
   
5. Déterminer l'expression des coefficients $a_n(t)$. Que peut-on dire de $R$ ?
   
6. Soit $x\in\, ]0,1[$ fixé.

• Montrer que la série $t\rightarrow h(x,t)$ converge normalement sur $[0,\pi].$
• En déduire que $H$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
• Exprimer $H(x)$ à l'aide de fonctions élémentaires pour tout $x\in [0,1[.$
• En déduire la valeur de $I$.

On considère l'équation différentielle :

$(E): xy'(x)+y(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{x(1+x}$.Résoudre (E) sur\, ]0,1[

Existe-t-il une solution de (E) se prolongeant par continuité sur $[0,1]$ ?

Soit $\phi(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}\frac{t\sin t(t)}{1-x\cos(t)}.$

• Montrer que $\phi$ est une application continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$.
• Monter que $\phi$ est une solution de (E) sur $]0,1[$.
• Retrouver la valeur de I.

Anonymously

Un peu d'aide s'il vous plaît pour la continuité et le développement en série entière?

JLapin

Continuité : utilise le théorème qui va bien

DSE : Décompose en éléments simples dans $\C$.

bd2017

Bonjour
Peux-tu corriger tes fautes dans l'énoncé ?  Ensuite peux- tu expliquer pourquoi tu bloques à la question 1.