Théorème de Tietze-Urysohn
Bonjour
1) $X$ est un espace normal.
Je suis intéressé par le théorème de prolongement de Tietze, également appelé théorème de Tietze-Urysohn. Il s'énonce comme suit
Soit $X$ un espace topologique séparé. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
1) $X$ est un espace normal.
2) Pour tout fermé $A$ de $X$ et toute application continue $f : A \to \mathbb{R}$, il existe une application continue $F : X \to \mathbb{R}$ qui prolonge $f$, c'est-à-dire que la restriction de $F$ à $A$ est égale à $f$.
Vous pouvez trouver plus d'informations sur ce théorème à l'adresse suivante :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_prolongement_de_Tietze
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_prolongement_de_Tietze
J'aimerais savoir s'il est possible de remplacer l'espace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{R}^2$ dans ce théorème, c'est-à-dire, peut-on considérer des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ ? Si non est-ce que cela nécessite des conditions supplémentaire ?
Je pensais que si j'avais une fonction à valeur dans $\mathbb{R}^2$, alors je pouvais la voir comme deux fonctions à valeur chacune dans $\mathbb{R}$, puis appliquer le théorème et regrouper le tout et obtenir une extension. Ce raisonnement est-il correct ?
Je pensais que si j'avais une fonction à valeur dans $\mathbb{R}^2$, alors je pouvais la voir comme deux fonctions à valeur chacune dans $\mathbb{R}$, puis appliquer le théorème et regrouper le tout et obtenir une extension. Ce raisonnement est-il correct ?
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