Axiome de fondation

Ch4rstz

Bonjour,
L'énoncé de l'axiome de fondation est : "Tout ensemble non vide contient un élément avec lequel il n'a aucun élément en commun". On peut montrer que cela implique qu'aucun ensemble ne s'auto-appartient. J'aimerais comprendre pourquoi on a pas pris "aucun ensemble ne s'auto-appartient" comme axiome de fondation. Il y a t-il des situations étranges qui pourraient se produire. J'ai lu quelque part qu'il serait possible d'avoir deux ensembles A et B tels que A appartient à B et vice-versa. 
Est-ce qu'on peut poser des ensembles montrant que cet axiome est nécessaire (càd construire le A et le B d'au dessus) ou est-ce qu'on est dans l'incapacité sans cet axiome de montrer qu'il n'est pas possible d'avoir deux ensembles A et B tels que $A \in B$ et $B \in A$ et donc on le pose.

Merci d'avance pour vos réponses

Médiat_Suprème

L'axiome de fondation tel qu'énoncé interdit tous les cycles, et même plus, les suites infinies d'ensembles, chacun appartenant au précédent.

Heuristique

L'axiome de fondation tel qu'énoncé indique que tout ensemble non vide possède un élément minimal pour $\in$. Cela signifie que l'ordre $\in$ sur l'univers est bien fondé, et donc que l'on peut démontrer des propriétés par induction sur $\in$. C'est donc très puissant comme axiome !

Ch4rstz

Merci pour ces exemples qui illustrent bien l'utilité d'un tel axiome. Mais ducoup si on se place dans le cadre où on interdit uniquement qu'un ensemble s'auto-appartienne comment construire une absurdité. Parce que j'imagine bien que si l'énoncé de l'axiome n'est pas "Pour tout ensemble E, E n'appartient pas à E" c'est que c'est insuffisant mais à quel endroit ça bug ?

Ch4rstz

A vrai dire la question semble déjà avoir été posé ici :  https://fr.quora.com/Lassertion-aucun-ensemble-ne-sappartient-lui-même-implique-t-elle-laxiome-de-fondation. Mais le problème de la preuve reste le même...

Thierry Poma

Ch4rstz : bonjour. Voici ce qu'en dit Patrick Suppes dans son livre Axiomatic Set Theory dans le PDF ci-joint.

Ch4rstz

Merci pour cette ressource mais du coup c'est un peu admis dans son énoncé que $A \not\in A$ n'est pas un axiome suffisant pour garantir la cohérence de la relation d'appartenance. Je suis toujours preneur si quelqu'un a un exemple d'ensembles A et B tel que $A \in B$ et $B  \in A$ avec les mêmes axiomes ZF sauf que l'axiome de fondation est remplacé par "$\forall A,\ A \not\in A$".

Cyrano

@Ch4rstz : Que veut dire "la cohérence de la relation d'appartenance" ? L'axiome de fondation (que ce soit le vrai ou la version affaiblie que tu proposes) n'est pas requis pour pratiquer 99% des mathématiques.

DeGeer

Il y a des axiomatiques alternatives où l'axiome de fondation est remplacé par un autre axiome.

Martial

@Ch4rstz : Ta question est mal posée. Il faudrait écrire : "Supposons que ZFC est consistante, donc elle a un modèle $(V, \in)$. Pouvez-vous, à partir de $V$, me décrire un modèle $W$ satisfaisant $ZFC-AF+ \forall A (A \notin A)$ qui de plus satisfait $\exists A \exists B (A \in B \land B \in A)$".

Je ne sais pas vraiment répondre à cette question, mais au moins elle est claire. (Je suppose qu'un tel $W$ existe, et qu'il doit falloir utiliser la technique des modèles de permutation pour le construire, mais ça ne doit pas être particulièrement trivial).