Un exo ENS perdu

SandwichFromage

Bonjour

J'ai lu un jour quelque part dans la RMS un exercice dont l'idée était la suivante.

Déterminer toutes les parties $A \subset \mathbb R$, telles que pour toute fonction $f : A \to \mathbb R$ continue sur $A$, $f$ est uniformément continue.

J'aimerais m'attaquer bientôt à ce problème, qui doit être sans doute issu d'un oral de l'ENS de la rue d'Ulm. Mais j'aimerais avant cela m'assurer de l'exactitude de cet énoncé. Pourriez-vous m'aider ? Par exemple, si quelqu'un dispose en PDF de certaines revues de la RMS, peut-être que vous pourriez retrouver cet énoncé dedans et me le confirmer (en cherchant "uniformément" ou "continue" par exemple...). Ou alors si ça vous parle aussi, si vous avez la moindre idée pour le retrouver ou autre. Par exemple je ne suis pas sûr que $f$ était à valeurs dans $\mathbb R$, elle était peut-être définie sur un espace normé... 

Je vous remercie d'avance.

fbi

Bonsoir,
j’ai trouvé cet énoncé dans la RMS 127-2.
Cordialement.

etanche

Y a-autre chose que les compacts ?

JLapin

Oui, $\Z$ est un autre exemple possible.

MrJ

Je n'ai pas rédigé tous les détails d'une démonstration, mais je pense (sans certitude absolue) qu'il faut et qu'il suffit que $H$ soit la réunion d'une partie compact et d'une partie fermée discrète.

raoul.S

Contre-exemple $H:=\{\sum_1^n 1/n\mid\, n>0\}$.

Je corrige un peu (enfin je crois corriger) : $H$ est la réunion d'un compact et d'une partie $A$ vérifiant : $\inf_{x,y\in A, x\neq y}\{|y-x|\}>0$.

MrJ

@raoul.S : Je pense que tu as raison. J’ai hésité avec ta condition et j’ai cru qu’ajouter que la partie discrète était fermée serait suffisant (mais ton contre-exemple montre que ce n’est pas le cas).

Édit : Correction d’une coquille.

raoul.S

Et moi j'avais hésité avec la tienne (partie discrète) avant de penser au contre-exemple 😅

SandwichFromage

Merci beaucoup @fbi
NO SPOIL CEPENDANT 

Héhéhé

Ce papier a l'air de répondre à la question (théorème 1).

gebrane

Je donne cette caractérisation '' Chaque paire de sous-ensembles fermés disjoints de H se trouve à une distance strictement  positive l'un de l'autre''  Je copie raoul-s  

SandwichFromage

@Héhéhé Comment es-tu tombé dessus ? O:

Héhéhé

J'ai recherché "Heine-Cantor theorem for non compact subset" sur Google.

SandwichFromage

Ah parce que Théorème de Heine se traduit en anglais par Heine-Cantor theorem...?

Héhéhé

Oui, pour connaitre le nom anglophone des théorèmes, j'utilise Wikipédia : je vais sur la page en français puis je suis le lien vers la page en anglais correspondante.