Suite exacte/produit semi-direct/section
Bonjour
En écrivant ma question, je crois bien que la réponse est venue d'elle-même.
1 \ar[r] & H \ar[r]^u & G \ar[r]^p & F \ar[r] &1
}$$ Comme $u(H)=\ker(p)$, $u(H)$ est distinguée dans $G$, alors $G/u(H)$ est un groupe et il est isomorphe à $F$ puisque $p$ est surjective.
Bien cordialement
En écrivant ma question, je crois bien que la réponse est venue d'elle-même.
Je me permets néanmoins de vous demander une confirmation sur ma compréhension du sujet.
Le sujet porte sur le liens entre les suites exactes et les produits semi-directs, plus précisément la notion de section.
En effet, fixons nous un suite exacte : $$\xymatrix{1 \ar[r] & H \ar[r]^u & G \ar[r]^p & F \ar[r] &1
}$$ Comme $u(H)=\ker(p)$, $u(H)$ est distinguée dans $G$, alors $G/u(H)$ est un groupe et il est isomorphe à $F$ puisque $p$ est surjective.
Or, si on se fixe une famille de représentant $\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$ de $G/u(H)$, alors $G$ est égal à $u(H)\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$ qui est, lui même, isomorphe à $u(H) G/u(H)$.
Une section dans ma suite exacte est donc équivalente à une application $s$ de $G/u(H)$ dans $G$ (en fait $s$ est même l'application qui fixe un système de représentant). Donc une section est seulement utile pour voir que $u(H) \cap s(G/u(H))= \{e\} $ et pour rien d'autre. Est-ce bien cela ?
D'ailleurs, Il semble que l'on ne peut pas toujours prendre une section. Or ne peut-on pas toujours prendre une famille de représentant d'un groupe quotient ? Bien cordialement
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Réponses
Cela explique pourquoi les suites exactes sont fortement corrélées aux groupes et aux produits de groupes.
Merci encore !
Par exemple avec la suite exacte scindée $\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Z / 3 \Z \cong H \ar[r]^u & \Z / 12 \Z = G \ar[r]^p & \Z / 4 \Z \cong G/u(H) \ar[r] &0 }$,
$u(1_{[3]})=4_{[12]}$, $p(1_{[12]})=1_{[4]}$, on a $u(H)= \{ 0_{[12]}, 4_{[12]}, 8_{[12]} \}$, et :
- avec la section $s(1_{[4]})=9_{[12]}$, on a $p \circ s (1_{[4]})=1_{[4]}$, donc $p \circ s = Id$, et $s(G/u(H))= \{ 0_{[12]}, 9_{[12]}, 6_{[12]}, 3_{[12]} \}$,
- avec le morphisme $s(1_{[4]})=3_{[12]}$, on a $p \circ s (1_{[4]})=3_{[4]} \ne 1_{[4]}$, donc $p \circ s \ne Id$, et $s(G/u(H))= \{ 0_{[12]}, 3_{[12]}, 6_{[12]}, 9_{[12]} \}$, cela ne change rien à $G = u(H) s(G/u(H))$.
Il suffit en fait que $s(G/u(H))= \{ 0_{[12]}, 3_{[12]}, 6_{[12]}, 9_{[12]} \}$, pour avoir la propriété (*) sur $G$, et rien d'autre, $p \circ s = Id$ n'est pas nécessaire ? Seule l'existence d'un tel $s$ est nécessaire (c'est la réciproque de (*)), mais une autre application fait l'affaire pour vérifier (*).
Qu'en pensez-vous ? (s'il y a quelque chose à en penser)
Il faut savoir qu'entre deux groupes $G$ et $H$, s'il existe un morphisme $f:G\to H$, alors il en existe d'autres, autant que d'automorphismes de $G$ : ce sont tous les $f\circ \sigma$, avec $\sigma\in\mathrm{Aut}(G)$, mais ils donnent tous la même image dans $H$.
Alors dans ton choix de $s:\ZZ4\to\ZZ{12}$ ensuite, tu prends $s(1\Mod4)=9\Mod{12}$ qui donne bien $p\circ s=Id$. Mais si tu choisis $s(1\Mod4)=3\Mod{12}$, alors il faut prendre $p'$ pour retrouver $p'\circ s=Id$. Mais ces choix ne sont pas importants car le sous-groupe image est le même dans tous les cas, et le produit semi-direct interne (ou direct ici car $G$ est abélien) se fait entre deux sous-groupes.
PS2. Si $p\circ s =\Phi\neq Id$, mais que $s$ est injective, alors $\Phi$ est un automorphisme de $F$ et $s'=s\circ \Phi^{-1}$ est injective et telle que $p\circ s'=Id$, c'est la section souhaitée.