Morphisme d'Artin et module admissible

noradan

Bonjour
$\def\fm{{\frak m}}\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}}\def\ff{{\frak f}}\def\fii{{\frak i}}$ $\def\a{\alpha}\let\b\beta \let\ss\subset$$\let\f\frac \let\r\sqrt$$\def\cD{{\cal D}} \def\cE{{\cal E}}\def\cA{{\cal A}}\def\cO{{\cal O}}$J'ai à ma disposition le théorème de réciprocité d'Artin
$$I(\fm)\Big/P_{\fm}N_K(\tilde \fm)\simeq G(K/F)$$
dans le cas où $P_\fm\ss\ker\cA$ (qui constitue une définition possible de module admissible) avec:
$F\ss K$ une extension de corps de nombre;
$\fm$ un $F$ module;
$I(\fm)$ les idéaux fractionnaires de $F$ premiers à $\fm$;
$P_\fm$ les fractionnaires principaux dont un générateur vérifie $\a=^*1\mod\fm$ (congruence multiplicative comme d'habitude);
$\tilde\fm$ le relèvement de $\fm$ dans $K$;
et pour finir $\cA$ le morphisme d'Artin.

Je dois prouver que ce résultat reste vrai si $\fm$ est tel que
$\cE_{F,\fm}\ss N(\cE_K)$ (autre définition de module admissible)
où ici $\cE_K$ est l'ensemble des idèles de $K$ et $\cE_{F,\fm}$ les idèles de $F$ tels que $\forall \fp,\:a_\fp=^*1\mod\fm$ et $N$ la norme des idèles de $K$ sur $F$
Ca ne doit pas être très compliqué car normalement c'est un exo d'application "immédiate".

Je ne vois pas comment m'y prendre. En fait si je prends un $\a\in K^*$
qui engendre un élément de $P_\fm$ j'ai envie de dire que l'idèle principal qu'il définit est bien dans $\cE_{F,\fm}$; donc localement une
norme (déjà, je ne sais pas si je ne dis pas une énormité) et de toute façon ça ne dis rien de plus car $K/F$ n'étant pas cyclique il n'y a pas de théorème de Hasse.

Quelqu'un pourait-il m'expliquer pourquoi le théorème de réciprocité reste vrai avec la seconde définition des modules admissibles.
Merci

noradan

Désolé mais le "postage" a complètement modifié le preview. Avant \fm faisait bien un \frak m comme \fp fait toujours un frak p.
Merci de corriger la machine .

Thierry Poma

noradan : bonsoir. Le texte est-il maintenant conforme à tes attentes ?

noradan

Oui c'est bon !
Je ne sais pas ce qui s'est passé. J'utilise toujours un certain lot d'abréviations que je définis dans un $ $ au début et là mes frak m sont resté fm
Va-t-en savoir pourquoi ?