Hypothèse polynôme minimal
Bonjour
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$.
On note $M_u$ le polynôme minimal de $X$, i.e. le générateur unitaire de l'idéal $I_u:=\{P\in\mathbb K[X]\mid P(u)=0\}$ et pour tout $x\in E$, $M_{u,x}$ le polynôme $u$-minimal de $x$, i.e. le générateur unitaire de l'idéal $I_{u,x}:=\{P\in\mathbb K[X]\mid P(u)(x)=0\}$.
Je lis dans un cours le lemme suivant visant à établir le résultat classique d'atteinte du polynôme minimal par un polynôme minimal d'un élément mais j'ai l'impression qu'il manque une hypothèse :
Si $M_u=P^{\alpha}Q$ avec $P$ irréductible, $\alpha\in\mathbb N$ et $Q$ premier avec $P$, alors il existe $x\in E$ tel que $P^{\alpha}=M_{u,x}$.
Est-ce qu'il ne faut pas rajouter le fait que $P$ est unitaire pour être entièrement rigoureux ?
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$.
On note $M_u$ le polynôme minimal de $X$, i.e. le générateur unitaire de l'idéal $I_u:=\{P\in\mathbb K[X]\mid P(u)=0\}$ et pour tout $x\in E$, $M_{u,x}$ le polynôme $u$-minimal de $x$, i.e. le générateur unitaire de l'idéal $I_{u,x}:=\{P\in\mathbb K[X]\mid P(u)(x)=0\}$.
Je lis dans un cours le lemme suivant visant à établir le résultat classique d'atteinte du polynôme minimal par un polynôme minimal d'un élément mais j'ai l'impression qu'il manque une hypothèse :
Si $M_u=P^{\alpha}Q$ avec $P$ irréductible, $\alpha\in\mathbb N$ et $Q$ premier avec $P$, alors il existe $x\in E$ tel que $P^{\alpha}=M_{u,x}$.
Est-ce qu'il ne faut pas rajouter le fait que $P$ est unitaire pour être entièrement rigoureux ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Oui pour le polynôme caractéristique j'ai quand même l'impression que la balance penche vers $\mathrm{det}(x I_n-A)$ (i.e. il y a plus de gens/cours prenant cette convention). Le seul "rationnel" que j'ai entendu sur ça c'est que ce choix serait plus commode pour la théorie tandis que $\mathrm{det}(x I_n-A)$ serait plus commode en pratique pour les exercices. Sûrement dû au fait que le premier donne un polynôme unitaire, par contre j'avoue ne pas trop voir pourquoi l'autre serait plus commode en pratique. Mais vu qu'on passe de l'un à l'autre en multipliant par $(-1)^n$...
Je connais la preuve classique à l'aide du lemme de mon premier message plus haut et du fait que $(M_{u,x}\wedge M_{u,y}=1\implies M_{u,x+y}=M_{u,x}M_{u,y})$.
----
Apparemment, il existe une autre preuve dans le cas où $\mathbb K$ est infini et du résultat $(\star)$ sur la réunion de sous-espaces stricts mais même en essayant de bricoler à l'aide du lemme des noyaux, je n'arrive pas à conclure.
On écrit la décomposition de $M_u$ en produit de facteurs irréductibles unitaires : $M_u=P_1^{\alpha_1}\cdots P_r^{\alpha_r}$.
Je sais qu'avec le lemme des noyaux $(\star\star)$ $E=\underset{1\leqslant i\leqslant r}\bigoplus\ker(P_i^{\alpha_i}(u))$ et que d'après $(\star)$, comme $\mathbb K$ est infini, il existe $x\in E\setminus\Big(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant r}\ker(P_i^{\alpha_i}(u))\Big)$.
Je ne sais pas si je suis sur la bonne piste mais ensuite je n'arrive pas à montrer que $M_u=M_{u,x}$. Il suffirait de montrer $M_u$ divise $M_{u,x}$ i.e. que pour tout $y\in E$, $M_{u,x}(u)(y)=0$. Même en décomposant $y$ dans $(\star\star)$ ça ne me donne rien car on ne connaît pas la décomposition de $M_{u,x}$...