Un enrobage amusant
Au hasard de mes pérégrinations sur le forum, je suis tombé sur l'exercice suivant.
Soit $B$ une variable aléatoire normalement distribuée dont
l'espérance est nulle et la variance vaut $1$. Trouver la
probabilité que l’équation quadratique
\begin{equation}
X^2+2BX+1=0.
\end{equation} ait deux racines réelles.
Quelle est la probabilité que ses racines $X_1$, $X_2$ soient supérieures à $\frac{1}{5}$ ?
\end{equation} ait deux racines réelles.
Quelle est la probabilité que ses racines $X_1$, $X_2$ soient supérieures à $\frac{1}{5}$ ?
Réponses
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L'équation a deux racines réelles SSI $B^2−1\ge0$ SSI $B\in[−1,1]$. Avec la description de $B$ comme suivant la loi normale centrée réduite, ça permet de trouver la probabilité sur la table ou avec la calculette que l'on voudra.Si cette condition est remplie, les racines sont $X_\pm=-B\pm \sqrt{B^2-1}$. Pour qu'elles soient toutes deux positives, il est donc nécessaire d'avoir $B\le-1$ et la plus petite est $X_-=-B-\sqrt{B^2-1}$. Il s'agit de résoudre $-B-\sqrt{B^2-1}\ge1/5$. Un dessin pourrait donner confiance dans les calculs à venir.
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NB : Je parle d'enrobage parce que la partie probabiliste est essentiellement une lecture de la table de la loi normale quand la partie algébrique nous renvoie à nos chères études lycéennes.
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