Question exercice polynôme

eoghan

Bonjour
J'ai une question par rapport à un exercice.

On cherche à résoudre $(X^2 + 1) P'' - 6P = 0$ pour $P$ un polynôme réel. Je suppose $P$ non nul, alors, en notant $n$ son degré et $a_n$ son coefficient dominant :

$$ 0  = (X^2 + 1) P'' - 6P = (n(n-1)a_n - 6a_n)X^n + \cdots $$

En résolvant $n(n-1)a_n - 6a_n = 0$, on trouve $n =3$. En posant $P = aX^3 + bX^2 + cX + d$ et en injectant dans l'équation, on trouve $P = a(X^3 + X)$ et réciproquement de tels polynômes conviennent.

Sauf que, lorsque je me suis lancé pour résoudre cette exercice, j'ai d'abord tenté une autre piste. Il y a une erreur, mais je ne le vois pas (ou plutôt, j'ai besoin de clarification sur certains points). Voilà ce que j'ai fait :

On suppose $P$ non constant (et unitaire pour simplifier) donc il admet une racine $\alpha$ dans $\mathbb{C}$, on peut écrire $P = (X-\alpha)^k g(X)$ avec $g(\alpha) \ne 0$. Dans la suite, on suppose $\alpha \ne \pm i$. Alors :

$$ (X-i)(X+i)P'' = 6 (X-\alpha)^k g(X)$$

Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, $(X-\alpha)^k$ divise $P''$ donc $\alpha$ est une racine d'ordre au moins $k$ de $P''$.

C'est une contradiction, puisque $\alpha$ est une racine d'ordre $k$ de $P$ ça devrait être racine d'ordre $k-2$ de $P''$. Donc $\alpha = \pm i$.

Mais c'est faux puisque $\alpha =0$ convient. Je ne suis pas sûr de la faille dans mon raisonnement. Est ce que c'est parce que ici $k = 1$ ? Mon raisonnement serait-il vrai si $k \geq 3$ ?

Bref, si quelqu'un avait le gentillesse de m'expliquer, je lui en serais reconnaissant.
Merci d'avance

Poirot

Oui c'est exactement ça. Dire que si $\alpha$ est racine d'ordre $k$ de $P$ alors il est racine d'ordre $k-2$ de $P''$ nécessite de supposer que $k \geq 2$. Il est tout à fait possible d'avoir $P(\alpha) = P''(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) \neq 0$, et c'est d'ailleurs exactement ce qu'il se passe avec les polynômes solutions du problème !