Même méthode. Tu coupes en 1 et tu fais $x=1/t$ sur l'intégrale entre 1 et l'infini. Tu atterris sur $$\int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}.$$ Ajout $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$
Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
@Gebrane: Tu ne fais pas disparaître $1/(1+x^2)$ en faisant ce que tu dis.
\begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{x^{u+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
Le problème AMM 12407 se généralise sans difficultés à $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{a-1}dx}{(1+\lambda x^a+x^{2a})(1+x^b)}$ avec $a>0$, $b>0$ et $\lambda>-2$.
Réponses
Ajout $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$
Je trouve $\dfrac{\pi }{4 r}.$ Du classique !
J'utilise l'identité,
Et, sans réfléchir, on peut terminer à coup de fonction Bêta.
As-tu traité cette généralisation