Intégrale, problème AMM 12407

Fin de partie

Je ne le sens pas très difficile ce problème au premier abord.

gebrane

FDP

Même méthode. Tu coupes en 1 et tu fais $x=1/t$ sur l'intégrale entre 1 et l'infini. Tu atterris sur $$\int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}.$$
Ajout   $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$

bd2017

Bonjour
Je trouve $\dfrac{\pi }{4 r}.$  Du classique !

gebrane

Tu fais comment bd 2017

bd2017

Une IPP ,  pour avoir $\arctan(x^r).$  Changement de variable $x=u^{1/r},$  puis  $u=1/y.$  L'arctan disparait. La dernière intégrale est facile.

gebrane

Ok merci , méthode différente de la mienne. Il nous reste la méthode de FDP 

Fin de partie

@Gebrane: Tu ne fais pas disparaître $1/(1+x^2)$ en faisant ce que tu dis. \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{x^{u+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}

gebrane

relis mon message, j'applique le changement à $\int_1^{+\infty}$

Fin de partie

Si, \begin{align}J(r)=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{u^{r+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}

\begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx-\int_0^\infty\frac{x^{r+1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\end{align}

Donc, \begin{align}J(r)=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx\end{align}
J'utilise l'identité,

\begin{align}\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\end{align}

PS.
Et, sans réfléchir, on peut terminer à coup de fonction Bêta.

Fin de partie

@Gebrane: Je n'avais pas vu que la somme se simplifiait pour donner ce que tu dis. Ce que j'ai raconté est sensiblement la même chose, en fait.

Fin de partie

Comme je l'avais pressenti cette intégrale est trop facile à calculer.

gebrane

La suivante ?

gebrane

Source

jandri

Le problème AMM 12407 se généralise sans difficultés à $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{a-1}dx}{(1+\lambda x^a+x^{2a})(1+x^b)}$ avec $a>0$, $b>0$ et $\lambda>-2$.

gebrane

Bonjour Jandri
As-tu traité cette généralisation

à la gebrane ( On se ramène à $\int_0^1$)

à la bd2017   ( On commence par une  ipp)

à la FDP        ( On commence par le  changement x=1/t sur $\int_0^{+\infty}$)

jandri

Je l'ai traitée "à la FDP".