Intégrale, problème AMM 12407 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Intégrale, problème AMM 12407

Modifié (25 May) dans Analyse
Je ne le sens pas très difficile ce problème au premier abord.

Réponses

  • Modifié (25 May)
    FDP
    Même méthode. Tu coupes en 1 et tu fais $x=1/t$ sur l'intégrale entre 1 et l'infini. Tu atterris sur $$\int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}.$$
    Ajout   $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • Modifié (25 May)
    Bonjour
    Je trouve $\dfrac{\pi }{4 r}.$  Du classique !
     
  • Tu fais comment bd 2017
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • Modifié (25 May)
    Une IPP ,  pour avoir $\arctan(x^r).$  Changement de variable $x=u^{1/r},$  puis  $u=1/y.$  L'arctan disparait. La dernière intégrale est facile.
     
  • Ok merci , méthode différente de la mienne. Il nous reste la méthode de FDP  :D
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • @Gebrane: Tu ne fais pas disparaître $1/(1+x^2)$ en faisant ce que tu dis. \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{x^{u+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
  • relis mon message, j'applique le changement à $\int_1^{+\infty}$
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • Modifié (25 May)
    Si, \begin{align}J(r)=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{u^{r+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
    \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx-\int_0^\infty\frac{x^{r+1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\end{align}
    Donc, \begin{align}J(r)=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx\end{align}
    J'utilise l'identité,
    \begin{align}\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\end{align}
    PS.
    Et, sans réfléchir, on peut terminer à coup de fonction Bêta.
  • @Gebrane: Je n'avais pas vu que la somme se simplifiait pour donner ce que tu dis. Ce que j'ai raconté est sensiblement la même chose, en fait.
  • Comme je l'avais pressenti cette intégrale est trop facile à calculer.
  • La suivante ?
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  • Modifié (25 May)
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • Le problème AMM 12407 se généralise sans difficultés à $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{a-1}dx}{(1+\lambda x^a+x^{2a})(1+x^b)}$ avec $a>0$, $b>0$ et $\lambda>-2$.
  • Modifié (27 May)
    Bonjour Jandri
    As-tu traité cette généralisation :smile:
    à la gebrane ( On se ramène à $\int_0^1$)
    à la bd2017   ( On commence par une  ipp)
    à la FDP        ( On commence par le  changement x=1/t sur $\int_0^{+\infty}$)
    Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane


  • Je l'ai traitée "à la FDP".
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