Intégrale, problème AMM 12407 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Intégrale, problème AMM 12407

Modifié (25 May) dans Analyse
Je ne le sens pas très difficile ce problème au premier abord.

Réponses

  • Modifié (25 May)
    FDP
    Même méthode. Tu coupes en 1 et tu fais $x=1/t$ sur l'intégrale entre 1 et l'infini. Tu atterris sur $$\int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}.$$
    Ajout   $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • Modifié (25 May)
    Bonjour
    Je trouve $\dfrac{\pi }{4 r}.$  Du classique !
     
  • Tu fais comment bd 2017
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • Modifié (25 May)
    Une IPP ,  pour avoir $\arctan(x^r).$  Changement de variable $x=u^{1/r},$  puis  $u=1/y.$  L'arctan disparait. La dernière intégrale est facile.
     
  • Ok merci , méthode différente de la mienne. Il nous reste la méthode de FDP  :D
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • @Gebrane: Tu ne fais pas disparaître $1/(1+x^2)$ en faisant ce que tu dis. \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{x^{u+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
  • relis mon message, j'applique le changement à $\int_1^{+\infty}$
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • Modifié (25 May)
    Si, \begin{align}J(r)=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{u^{r+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
    \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx-\int_0^\infty\frac{x^{r+1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\end{align}
    Donc, \begin{align}J(r)=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx\end{align}
    J'utilise l'identité,
    \begin{align}\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\end{align}
    PS.
    Et, sans réfléchir, on peut terminer à coup de fonction Bêta.
  • @Gebrane: Je n'avais pas vu que la somme se simplifiait pour donner ce que tu dis. Ce que j'ai raconté est sensiblement la même chose, en fait.
  • Comme je l'avais pressenti cette intégrale est trop facile à calculer.
  • La suivante ?
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • Modifié (25 May)
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
  • Le problème AMM 12407 se généralise sans difficultés à $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{a-1}dx}{(1+\lambda x^a+x^{2a})(1+x^b)}$ avec $a>0$, $b>0$ et $\lambda>-2$.
  • Modifié (27 May)
    Bonjour Jandri
    As-tu traité cette généralisation :smile:
    à la gebrane ( On se ramène à $\int_0^1$)
    à la bd2017   ( On commence par une  ipp)
    à la FDP        ( On commence par le  changement x=1/t sur $\int_0^{+\infty}$)
    Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
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