Ensembles dyadiques

nyadis

J'ai du mal à comprendre le raisonnement suivant rencontré dernièrement. Permettez-moi de reformuler légèrement.

Nous considérons un ensemble $A$ de nombres de la forme $$A = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in N_1, b \in N_2 \right\},$$ où $N_1$ et $N_2$ sont des sous-ensembles de $\mathbb{N}$.

Ensuite, l'objectif est de partitionner $A$ en intervalles dyadiques. Le concerné démontre que $\log(ab) \leq K$. Ensuite, il affirme que nous pouvons partitionner $A$ en au plus $K$ sous-ensembles $A_j$ inclus dans des intervalles dyadiques notés $]T_j, 2T_j]$.

(Je ne comprends pas cette conclusion ni pourquoi il effectue le calcul du $\log(ab)$).

Ensuite, une fonction multiplicatrice $f$ est introduite et nous notons $F(A) = \sum_{m \in A} f(m)$. Le concerné montre que $$F(A) \leq K \sum_{1 \leq j \leq K} F(A_j),$$

puis il conclut que $\max A \leq 2 \min A$. Je suppose que cela découle du fait que $A$ doit être s'écrire sous la forme $]Q, 2Q]$ pour un certain $Q$, mais je ne comprends pas pourquoi.
Merci.

gerard0

Bonjour
Tu as dû oublier des infos dans ta reformulation. Par exemple, si $N_1$ est l'ensemble des entiers pairs et $N_2=\{1\}$, alors $\log(ab)$ n'est pas majoré.
Cordialement.

nyadis

Bonjour, Merci pour la remarque. $N_1$ et $N_2$ sont bornés. 

gerard0

As-tu bien tout revu ? Par exemple b ne doit pas être nul, donc il y a une condition sur $N_2$. A moins que tu lises sans comprendre un texte anglo-saxon où $\mathbb N$ désigne notre habituel $\mathbb N^*$. Car si a peut être nul, il n'y a pas d'intervalle contenant $\frac a b$.

Idem pour le $\log$ qui en France désigne le log décimal. Ne s'agirait-il pas d'un $\log_2$, un log binaire ?

nyadis

Oui, vous avez raison sur tous ces points. Si je devais tout réécrire dans sa formulation complète, ma demande serait très longue. Je suppose donc que tout se passe bien et que $\log(ab)$ est borné par une constante $K$. J'aimerais beaucoup mieux comprendre les choix qui ont été faits.

gerard0

C'est $\log$ ou $\log_2$ ?

gerard0

Pourquoi $ab$ ? Parce qu'avec des entiers strictement positifs, les quotients sont entre 1/b et a . Vois en échelle logarithmique ce que ça donne.

nyadis

C'est $ \log $ et non $\log_2$. Par contre je ne comprends pas très bien votre argument dans votre réponse à " pourquoi $ab$ ? "

gerard0

Si c'est $\log$, alors ça devient faux. Par exemple avec $A_1 = \{1,10 \},\ A_2= \{1,2,3 \}$ donc $A = \{\frac 1 3,\frac 1 2,1,\frac{10}3,5,10 \}$ et $\log 30 \approx 1,47$(log décimal) et tu ne trouveras pas de répartition en "au plus 1,47 classes", ni au plus 2. Même chose avec $ln 30 \approx 3,40$ et même 4. Par contre, avec $\ln_2 30 \approx 4,90$, et en prenant $K$ entier, donc égal à 5, ça marche, la dernière classe étant $]5,10]$ et la première $]\frac 5 {16},\frac 5 8 ]$.

Cela vient du fait que le quotient entre la plus grande et la plus petite valeur est $\frac{10}{\frac 1 3}=30$ qui est aussi le plus grand produit $ab$.

Donc il y a certainement un oubli dans ton document, ou une indication préalable que les log utilisés sont les logs de base 2, cohérents avec le dyadique.
La fin de ton explication est du n'importe quoi, donc à moins que tu aies trahi l'auteur, il dit n'importe quoi : la dernière formule est fausse, dans mon exemple $\max A \leq 2 \min A$ donnerait $10\leq \frac 2 3$, et l'avant dernière est sans intérêt puisque $F(A)  \bold{=} \sum_{1 \leq j \leq K} F(A_j)$.
Cordialement.

NB. Ce que je viens de faire, prendre un exemple simple pour voir comment ça se passe, n'était-ce pas ton travail ?

nyadis

Merci gerard0 pour ton aide.  J'ai une meilleure vision de la situation après ça. Merci d'avoir fait mon travail à ma place, je ne l'ai pas fait parce que je pensais que peut être se sont des truc classique mais non.