Crible
dans Arithmétique
J'aimerais savoir si cette relation est vraie pour un entier $m$ donné, $$ \sum_{ n < x , (m,n)=1} 1 \gg \frac{x \varphi(m)}{m},$$
avec $x \geq (\log m)^A$ pour une constante $A$ à préciser. Merci !
avec $x \geq (\log m)^A$ pour une constante $A$ à préciser. Merci !
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Réponses
En effet on a pour tout $ m > 1$ que
$$ \sum_{\substack{1 \leq n \leq x \\ (n, m)=1}} 1=x \frac{\varphi(m)}{m}+O\left(2^{\omega(m)}\right) $$
mais il n'y a pas d'information sur la taille de $x$, je suppose que c'est pour $x$ suffisamment grand mais à quel point...
Est-ce que je pourrais avoir une référence qui en parle ?
$$\varphi(x,m) = \sum_{d \mid m} \mu(d) \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor = x \sum_{d \mid m} \frac{\mu(d)}{d} - \sum_{d \mid m} \mu(d) \left \{ \frac{x}{d} \right \} = \frac{x \varphi(m)}{m}- \sum_{d \mid m} \mu(d) \left \{ \frac{x}{d} \right \} $$
avec
$$\left| \sum_{d \mid m} \mu(d) \left \{ \frac{x}{d} \right \} \right| \leqslant \sum_{d \mid m} \mu(d)^2 = 2^{\omega(m)}.$$
Ainsi, pour tout réel $x \geqslant 1$
$$\varphi(x,m) =\frac{x \varphi(m)}{m} + O^\star \left( 2^{\omega(m)} \right).$$
Cette notation signifie
$$\forall x \geqslant 1, \quad \left| \varphi(x,m) -\frac{x \varphi(m)}{m} \right| \leqslant 2^{\omega(m)}.$$
Il y a d'autres résultats plus précis sur ce totient. Par exemple, en 1978, Siva Rama Sarma (Math. Student 36 (1978), 160-164) a étudié le reste $\Delta(x,m)$ défini par $\varphi(x,m) =\frac{x \varphi(m)}{m} +\Delta(x,m)$, et a obtenu l'encadrement suivant : pour tout réel $x \geqslant 1$ et tout entier $m \geqslant 2$
$$\left| \Delta(x,m) + \{x\} \tfrac{\varphi(m)}{m} - \tfrac{1}{2} \left \lfloor \tfrac{1}{\delta} \right \rfloor \right| \leqslant 2^{\omega(m)-1} + 2^{\omega(\delta)-1} - 2^{\omega(\delta)} \prod_{p \mid \delta} \left( 1 + \tfrac{1}{p} \right)^{-1} \prod_{p \mid m} \left( 1 + \tfrac{1}{p} \right)$$
où $\delta = \textrm{pgcd} \, (m, \lfloor x \rfloor)$.
On peut aussi voir les choses autrement : si l'on connait le nombre de facteurs premiers distincts de $m$, alors $\Delta(x,m)$ peut être estimé de la façon suivante : si $x \geqslant \omega(m)+1$, alors
$$\Delta(x,m) \ll x^{1 - \frac{4}{6+W_m}} \frac{\varphi(m)}{m}$$
avec $W_m := \log P^- (\omega(m)) \asymp \log(\omega(m)+2)$.
Référence