Démonstration décomposition en cycles à supports disjoints
Bonsoir,
J'ai quelques blocages dans la preuve. Cette preuve m'a toujours fait peur.
J'ai quelques blocages dans la preuve. Cette preuve m'a toujours fait peur.
- Je ne comprends pas le $\sigma =(x \ \sigma(x) )$.
- Comment on sait que l'ordre de $\sigma$ existe ?
- Je ne comprends pas le cas $Supp \ \rho= \emptyset$, on a $\sigma=c_x$ et en quoi on a démontré le théorème dans ce cas ?
- Je ne comprends pas pourquoi si $Supp \ \rho \ne \emptyset$ alors $\# Supp \rho \leq k-1$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
1) Si le support contient deux éléments, c'est une transposition.
2) $\langle \sigma \rangle$ est le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ engendré par $\sigma$. D'après le théorème de Lagrange, son cardinal divise $n!$ donc il est fini.
3) On a $\sigma=c_x$ et $c_x$ est un cycle donc c'est terminé.
4) On a $Card (Supp \sigma ) \geq 3$. Comme $x \in Supp \sigma$ alors $\sigma (x) \ne x$ et $\sigma(x) \in Supp(\sigma)$ donc $c_x(x)= \sigma(x) \ne x$ donc $Supp \ c_x$ est non vide.
Si $Supp \ \rho = Supp \ \sigma \backslash Supp \ c_x$ est non vide, il existe au moins un élément dedans.
De plus, $\# Supp \ \rho \geq 1$.
Or $\# Supp \ \rho =\# Supp \ \sigma - \# Supp \ c_x$ ce qui donne $\boxed{\# Supp \ \rho \leq k-1}$
Je n'ai pas compris comment on montre que chaque $c_i$ est l'un des $d_j$ ni d'où sort le $s=t$.
Exercice : soient $c$ et $d$ deux cycles de $\mathfrak{S}_n$ avec $c \neq id$ tels que $supp$ $c \subset supp$ $d$ . Prouver que $c=d$ .
@NicoLeProf
Je n'ai aucun théorème qui dit qu'un cycle $c$ de longueur $s$ peut s'écrire sous la forme $(x \ c(x) \ c^2(x) \ \cdots c^{s-1} (x) )$.
Je ne sais pas d'où ça sort.
Je n'ai pas compris ton indication.
Questions préliminaires.
1) On considère le $3$-cycle $(123)$, quel est son support ?
2) Même question avec le $5$-cycle $(13425)$ . Que remarques-tu
3) Dans le cas général, donne moi la définition d'un cycle (celle de ton bouquin : via une capture d'écran ou en la recopiant mot pour mot.)
La suite dépend de la réponse que tu me donnes à la question 3).
1) $Supp (1 \ 2 \ 3) = \{1,2,3 \}$.
2) $Supp (1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5)= \{1,2,3,4,5)$ donc $Supp (1 \ 2 \ 3) \subset Supp (1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5)$.
3) Si $i_1, \cdots, i_k$ sont $k$ éléments deux à deux distincts de $\{1, \cdots, n \}$, la permutation définie comme suit est notée $s=(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_k)$ :
- si $1 \leq j \leq k-1$ alors $s(i_j)=i_{j+1}$
- $s(i_k)=i_1$
- et $s(i)=i$ si $i$ n'est pas l'un des $i_j$.
Une telle permutation est appelée un $k$-cycle.a) $Supp \ s= \{i_1, \cdots, i_k \}$.
b) $i_2=s(i_1)$, $i_3=s^2(i_1)$ .
c) $i_j=s^{j-1} (i_1)$.
d) $s=(i_1 \ s(i_1) \ s^2(i_1) \ \cdots \ s^{k-1}(i_1) )$
Soient $c,d$ deux cycles de $\mathfrak{S}_n$ tels que $Supp \ c \subset Supp \ d$.
Soit $x \in Supp \ c$.
$c=(x \ c(x) \ \cdots \ c^{s-1}(x))$.
Montrons $c=d$.
On a $d=(x \ d(x) \ \cdots \ d^{t-1}(x))$.
On effectue la division euclidienne de $d$ par $c$ ce qui donne $t=sq+r$ avec $0 \leq r \leq s-1$.
Par l'absurde si $r >0$, alors...
Je bloque ici.
Moi non plus.
Je n'ai juste rien compris à la preuve d'unicité du livre.
Il manque une condition sur la longueur des cycles par exemple ! Ce n'est pas parce que $supp$ $c \subset $ $supp$ $d$ que $c=d$. On le voit bien en prenant $c=(123)$ et $d=(12345)$ . Vraiment désolé OShine ! Je fais des boulettes des fois !!!
Je ne comprends pas :
pour bien démarrer: $\sigma= c_1...c_s = d_1....d_t.$ On sait que les cycles ont des longueurs au moins égale à deux, leurs supports sont disjoints et que les cycles commutent.
Soit $k\in supp (\sigma).$ Il est dans le support d'un unique $c_i$ et d'un unique $d_j.$ On peut changer l'ordre de sorte qu'on ait $i\in c_1$ et $i\in d_1.$
Ok mais comment on montre $r=s$ ?
@Julia Paule
Ok merci c'est bon pour $c_s=d_t$.
Ensuite on a $c_1 \circ \cdots \circ c_{s-1} = d_1 \circ \cdots \circ d_{t-1}$.
Et comment on en déduit par récurrence $r=s$ ? et que chaque $c_i$ est l'un des $d_j$ ?
Il y a deux variables $s$ et $t$.
Sans récurrence, si $s> t$, le cas $s < t$ est symétrique, on aurait après simplification (voir méthode du livre) que $c_{t+1} \circ \cdots \circ c_s= id$ ce qui est absurde car les supports sont disjoints.
Donc $r=s$.
Le fait que chaque $c_i$ est l'un des $d_j$ s'explique par la même démonstration que $c_s=d_t$ qu'on itère.
Tu sais faire la récurrence ?
Désolé erreur de frappe.
@Julia Paule
Si $s=1$ alors $\sigma=c_1$ et $c_1$ est unique.
Ok pour l'hérédité c'est immédiat en effet, quand on arrive à $c_1 \cdots c_{s-1} = d_1 \cdots d_{t-1}$ on utilise l'hypothèse de récurrence donc chaque $c_i$ est égal à l'un des $d_j$ et on a aussi $s=t$.