Pensez à un nombre entre 1 et 18.

Cidrolin

Pour les petits apprenants voici un tour de magie.

On présente à un élève trois cartes.
Carte 1 : $1,2,2,4,5,5,7,8,8,10,11,11,13,14,14,16,17,17$
Carte 2 : $3,4,5,6,6,7,7,8,8,12,13,14,15,15,16,16,17,17$
Carte 3 : $9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18$

À chaque carte, il doit dire si son nombre y figure et combien de fois.
On peut trouver le nombre inconnu immédiatement.

JLapin

Je n'ai pas tout vérifié mais c'est très joli !

Et c'est aussi très bien pour les moins petits apprenants

nicolas.patrois

On compte en base 3.

Calli

Bonjour,
Une seule carte suffit : $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,5,5,5,5,\text{etc.}$ 

Ludwig

Je m'embrouille sur un souvenir : quel est le lien entre le fait que $3$ soit l'entier le plus proche de $e$ et le nombre de chiffres dans l'écriture d'un entier en base $3$ ?

Cidrolin

Bonsoir Ludwig.

S'agit-il de cette question : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/655249#Comment_655249  ?

Ludwig

C'est en rapport avec le nombre minimal de chiffres : n'est-ce pas en base $3$ que l'écriture d'un entier comporte le moins de chiffres ?

lourrran

Même suggestion que Cidrolin : pour un nombre $n$, comment décomposer $n$ en somme d'entiers, tels que leur produit soit maximal.
Et si on s'autorise une somme de nombres pas forcément entiers, mais des nombres de la forme $\frac{n}{1000}$ par exemple, alors on voit que $e$ est vraiment présent dans cet exercice.

Ludwig

J'ai retrouvé ce dont il s'agit, ce n'est pas en lien avec le nombre minimal de chiffres mais avec une quantité mesurant le codage d'un nombre. Une quantité qu'il s'agit de minimiser, et alors c'est la base $3$ la meilleure.
En base $b$ il faut $b$ chiffres pour écrire tous les nombres, et le nombre de chiffres pour coder un nombre $n$ est égal à $1+\lfloor \log_b(n) \rfloor$ : plus la base est grande plus le nombre total de chiffres est grand mais plus le nombre de chiffres pour coder un nombre est petit. On définit alors une quantité associée au codage en base $b$ par le produit $b \times (1+\lfloor \log_b(n) \rfloor).$ Quand $n$ est grand ce produit se comporte comme $b\times \ln(n)/\ln(b)$, une fonction de $b$ dont voici l'allure : 

L'étude de cette fonction montre que son minimum est atteint en $b=e$. On m'avait dit à l'époque que c'est parce que $3$ est l'entier le plus proche de $e$ que $3$ est la base entière qui minimise la produit $b\times \ln(n)/\ln(b)$, mais en fait la raison est que $3/\ln(3)<2/\ln(2)$.

Cidrolin

Bonjour
Hier je signalais un tour de magie avec trois cartes, en voici un avec quatre cartes.

On pose $F=\{11/8,\,7/5,\,17/12,\,10/7,\,8/5,\,5/3,\,12/7,\,7/4,\,19/8,\,12/5,\,29/12,\,17/7,\,13/5,\,8/3,\,19/7,\,11/4\}$, un ensemble de $16$ fractions.
On demande à une personne de choisir un élément de $F$ et de dire pour chacune des quatre cartes suivantes si la fraction y figure ou non.

Carte 1 : 8/3, 29/12, 17/7, 12/5, 13/5, 11/4, 19/8,19/7

Carte 2 : 7/5, 17/12, 29/12, 10/7, 17/7, 12/5, 11/8, 19/8

Carte 3 : 7/4, 12/7, 17/12, 29/12, 10/7, 17/7, 11/4, 19/7

Carte 4 : 8/5, 12/7, 17/12, 29/12, 13/5, 11/8, 19/8, 19/7

Sans voir les cartes, sans les avoir mémorisé, je peux avec un petit calcul retrouver la fraction.

Quelle est ma méthode ?

bisam

Tu as dû faire une erreur de copie, @Cidrolin, parce que 17/12 et 29/12 sont tous les deux communs aux cartes 2, 3 et 4 mais pas dans la carte 1. On ne peut donc pas les distinguer.

[Edit] Soit j'ai eu la berlue, soit ça a été corrigé... car 29/12 est bien dans la carte 1.

Georges Abitbol

@Cidrolin : C'est toi qui inventes tous ces beaux problèmes ?

Par contre, pour ton problème à trois cartes, je n'aurais pas choisi exactement ces cartes-là. Je ne sais pas s'il y a une raison qui fait qu'on diffère. D'ailleurs, pourquoi $18$ apparaît deux fois, sur ta dernière ?

lourrran

18 apparaît 2 fois, pour le distinguer de 9.

Cidrolin

1) Pour le tour des trois cartes, il est basé sur l'écriture d'un nombre en base trois (comme le disait Nicolas).

Soit $A$ le nombre cherché. Si on note $a_i\in\{0,1,2\}$ le nombre de fois  où $A$ figure sur la carte $i$,

alors $A= a_1+3a_2+9a_3$

2) Pour le tour des quatre cartes, je ne vois pas l'erreur signalée par bisam. La solution utilise un outil moins simple que les bases de numération.

3) Merci Georges Abitbol, pour le qualitatif.  J'invente (10% des cas) ou je modifie des problèmes trouvés sur le net (90%).

Ludwig

Pour les fractions on reconnait des réduites de nombres quadratiques. Les premiers termes d'une suite du genre $u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}$ ? $a$ et $b$ étant fonctions des booléens associées à la présence des fractions dans les cartes. Pareil pour $u_0$ et $u_1$.

Julia Paule

5/3 n'apparait pas dans les cartes. C'est normal ?

Cidrolin

Oui, c’est normal.

Un indice ; pour une variante de ce tour avec cinq cartes (et 32 fractions)  l'absent serait 8/5

 et pour une variante de ce tour avec six cartes (et 64 fractions)  l'absent serait 13/8.

Cidrolin

Soit $E=\{1,2\}$, alors $F-\{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4}}}|\quad a_1,a_2,a_3,a_4 \in E\}$.

Sur la carte $i$ on écrit les fractions pour lesquelles $a_i=2$.

Par exemple, la réponse Oui-Non-Oui-Oui   donne la fraction : $2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{19}{7}$

Julia Paule

C'est pourquoi j'avais remarqué qu'on pouvait grouper les fractions 2 par 2 différant de 1, et que la présence sur la carte 1 (par rapport à son absence) augmentait la fraction de 1.
Mais je ne trouvais pas de règle pour la présence sur les cartes 2, 3 ou 4 par rapport à leur absence.