1111...11 - n fois
Réponses
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Je n'ai pas d'idées cette fois ci, mais le seul cas que j'ai trouvé c'est $n= 2$
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Si $n$ est pair, $Q_n$ est divisible par $11$. Si $n$ est divisible par $3$, $Q_n$ est aussi divisible par $3$. Je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick...
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Bonjour.
C'est quasi- évident ! Contraposition : si n n'est pas premier, si n=pq, alors $Q_n$ est constitué de p paquets de q 1, factorisation évidente.
Cordialement. -
Bonjour,
Tu peux chercher "rep-unit" dans ton moteur de recherche favori.
Cordialement,
Rescassol
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$10^{pq}-1 = (10^p-1)\displaystyle \sum_{k=1}^{q-1} 10^{p(q-1-k)}$. Ainsi, $Q_{pq}$ est divisible par $Q_p$.
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Guego a dit :$10^{pq}-1 = (10^p-1)\displaystyle \sum_{k=1}^{q-1} 10^{p(q-1-k)}$. Ainsi, $Q_{pq}$ est divisible par $Q_p$.C'est la formalisation rigoureuse de ce que proposait Gerard0 (à un facteur 9 près).Puisque l'on est dans les 1, sauriez-vous deviner le résultat de 111 111 111 x 111 111 111 avant d'interroger votre calculatrice préférée?The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Le message de gerard0 est passé inaperçu, je le reprends :
Si $n$ n'est pas premier, il existe $p$ et $q$ tous les 2 strictement supérieurs à 1, tels que $n=p \times q$
J'ai fait quasiment la moitié de la démo, à toi de finir.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
En base 2; $Q_n =2^n -1$ c'est un nombre de Mersenne et on sait que si ce nombre est premier alors n est premier
Le 😄 Farceur -
Jlapin
Ah puisque tu ne le sais pas je t'explique. Un répété de 1, n fois, en base $a\geq 2$ s'écrit $1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}$On dit merci ?J'ai oublié, vois-tu que l'explication que j'ai donnée dans le précédent message est louche ?Le 😄 Farceur -
Non, je ne vois pas.
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Change tes lunettes
Bonne nuit, je suis à moitié endormi.Le 😄 Farceur -
Comprends pas, tant pis.
Manifestement, un intervenant de ce fil m'écrase avec un ton moqueur. Donc je m'en vais. -
Bonjour tout le monde.Après avoir lu un peu sur les rep-unit , c'est une suite géométrique : $$ \underbrace{11111...11}_{n fois } = \sum_{k=0}^n 1O^k ,$$ et il n'y pas de carré parfait à partir de 111.
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Mais ça ne fait pas avancer ta question.
Si n=21 par exemple, sais tu trouver 2 diviseurs de 111 111 111 111 111 111 111 ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ils ont été donnés par gerard0 et guego
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
lourrran a dit :
Si n=21 par exemple, sais tu trouver 2 diviseurs de 111 111 111 111 111 111 111 ?$1$ et $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ .
Ce fut un plaisir !
*Fin du mode troll* -
Tu factorises par 9!
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Bonjour @ gebrane
J’espère que vous êtes de bonne humeur comme hier ; et que le crayon a été téléporté par les ovnis vert , en plein écriture.
Les nombres Mersenne ; oui je les connais, surtout leur chemin retour avec les nombres premiers, mais je n'arrive pas notre suite de $1111\dots11$, sauf erreur de ma part. -
Un indice, factorises 37037.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Dernier indice : 111 milliards 111 millions 111 mille 111 unités, c'est 111 fois (1 milliard +1 million + mille + 1 unité)
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
T youssef, je ne comprends pas très bien ta questionPour répondre à Jlapin, je suis un poids plume, donc je ne peux écraser personne. Mon explication était louche et tu sais pourquoi. D'abord l’écriture de l'entier $111\dots 11$ est une écriture en base 10, donc $111\dots 11=(111\dots 11)_{10}$. J'ai dit que $(11\dots 11)_2=2^n - 1$ et que $2^n - 1$ est un nombre de Mersenne. Donc, si $n$ est composé, alors $2^n - 1$ est composé et $(111\dots 11)_2$ est composé. Ce qui est louche, c'est de conclure que $(111\dots 11)_{10}$ est composé.Ce qui est encore plus louche : pourquoi gebrane fait appel aux nombres de Mersenne puisque la preuve pour démontrer que si $n$ est composée alors le nombre $2^n - 1$ est composé, est la même (presque) que pour démontrer que si $n$ est composé alors $111\dots 11=(111\dots 11)_{10}=\frac{10^n-1}9$ est composé.Le 😄 Farceur
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Non, rien de louche dans ton premier message, juste un détournement de l'énoncé initial qui d'ailleurs ne précise pas si on travaille en base 10 ou autre.
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Lorsque on écrit un entier sans préciser la base, c'est que la base est 10. C'est pourquoi je trouve l'explication de mon premier message est louche.
Le 😄 Farceur -
ok
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Pas de problème ! Ma question avait plutôt pour but de généraliser un peu l'énoncé en faisant travailler qui le souhaitait dans une base quelconque.
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Ok , je vois.On peut remplacer $1$ par un autre chiffre $p\in{2,3,\dots ,9}$ et se poser la même question. Quels sont les nombres $r_n^p=ppp\dots ppp$ avec $p$ répété $n$ fois qui conservent la propriété : si $n$ est composé, alors $r_n^p$ est composé. C'est une question pour T-youssefLe 😄 Farceur
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Bonsoir gebrane , ah non je ne suis pas fort en maths moi, d’ailleurs j'ai toujours des problèmes.Excuse mon modeste savoir faire.Dites vous voulez généraliser le résultat.Voilà ce que j'ai compris.Lorsque j'ai $ 7777777$, et $7$ est premier alors $7777777$ est premier, ou même l'inverse car la suite $1111\dots 11$ est dans l’ensemble des diviseurs dés que on dépasse le chiffre 2 , les $22222\dots 22,\ 333333\dots 33, \dots ,\ 999999\dots 99$, il n'y a pas de chance de trouver un nombre premier parmi eux.En tout cas voilà ce que j'ai compris, sauf erreur de ma part.
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La question de gebrane est plus compliquée que la question originale.
Je pense que si tu ne sais toujours pas faire la question originale, ce n'est pas très raisonnable de s'attaquer à la version 'compliquée'.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Oui tu as compris; avec ma notation $r_n^p $ pour $1 <p<10$ est composé car $r_n^p =pr_n^1$.
Le 😄 Farceur -
Bonjour
7777777=7*1111111 n'est pas premier.
1111111=239*4649 non plus, d'ailleurs.
mais 1111111111111111111 est premier et a 19 (nombre premier) 1.
Cordialement -
On a dit tous sont composés.
Tyoussef est-ce que tu as bien compris la solution de guego pour la question initiale. Sinon je t'aide pour comprendre.Le 😄 Farceur -
Ben non, Tyoussef a raison, si $p>1$ alors tous les $rnp$ sont composés.Sinon pour revenir à la question de départ et donner une écriture plus simple de la réponse de gerard0 :si $n=pq$ alors $$ Q_n = \underbrace{111\dots11}_{ p \text{ fois} } \times \underbrace{1\, 001 \dots 001\, 001}_{ q \ \text{chiffres 1 tous séparés par }p-1\text{ zéros} }$$À noter ici que $p$ et $q$ jouent des rôles symétriques on a donc 2 décompositions possibles pour cette méthode.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Ok, T-youssef, félicitation.Bonsoir Soc
Pour n=12=4x3je trouve plutôt $r_{12}=r_4\times 100010001$Le 😄 Farceur -
Tu as raison j'ai mal écrit le scmilblick, je tente de rectifier ça. Comment met-on des espaces dans le texte en latex?
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
SocTa formule est encore douteuse Pour $n=6=3\times2$, je trouve $r_6=r_3\times 1001$Le 😄 Farceur
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Je corrige, je suis désolé, je parle de ce nombre, j'ai fait une erreur, le nombre de Belphégor, ce n'est pas evil numbres.$$ 1\, 000\, 000\, 000\, 000\, 066\, 600\, 000\, 000\, 000\, 001 $$Pas de chance les nombres de Belphégor, ont les $666$ au milieu.
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Une question Trouver une CNS sur n pour que $7\mid r_n$.
Le 😄 Farceur -
Soc
Est ce que cette décomposition est une évidence à en croire le message de gerard0.Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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