Arithmétique difficile

c-math

Bonjour,
soit $n\in{\mathbb N}^*$, et $a_n=ppcm(n+1,n+2,\dots,n+10)$. Quel est le plus grand nombre réel $\alpha$ pour lequel la relation $\alpha a_n\leq a_{n+1}$ est toujours vraie.

Merci.

P.S. Je trouve $\alpha=\dfrac{1}{252}$, mais pas sûre de la réponse.

Math Coss

Numériquement, ça semble très plausible !

sage: def a(n): return lcm(range(n+1,n+11))
sage: m = min([a(n+1)/a(n) for n in range(1,1000000)])
sage: m
1984/499963
sage: m-1./252
3.96854764076957e-8

LOU16

Bonjour,

Je crois que la question consiste plutôt à déterminer $\underset{n\in \N}{\inf}\left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ , c'est-à-dire le plus grand réel $\alpha$ tel que $\forall n\in \N, \:\alpha a_n \leqslant a_{n+1}.$

$\forall n \in \N, \: P_n :=\displaystyle \prod_{k=1}^{10}(n+k).\:\: $ Alors: $\:\:a_n =\dfrac{P_n}{ 2^{p_n}.3^{q_n}. 5. 7^{r_n}}, \:\:$ avec $\:\:p_n,q_n,r_n \in\N,\:\:5\leqslant p_n\leqslant 7, \:\:2\leqslant q_n\leqslant 4, \:\:0 \leqslant r_n\leqslant 1.$

Ainsi, $\:\forall n \in \N, \:\:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geqslant\dfrac{n+11}{ 2^2.3^2 . 7. (n+1) }> \dfrac 1{252}.\:\:\:\:$ De plus,  $\:\forall n \in \N\:$ tel  que $\:n +11\equiv 0 \mod  2^3\times3^2\times 7 \:$ ,

$a_{n+1}=\dfrac {P_{n+1}}{2^7.3^4.5.7},\:\:a_n=\dfrac{P_n}{2^5.3^2.5},\:\:\dfrac {a_{n+1}}{a_n} =\dfrac{n+11}{252(n+1)}. \qquad\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+11}{252(n+1)}= \dfrac 1{252}.$ $$\underset{n\in \N}{\inf}\left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)= \dfrac 1{252}.$$

(le $\dfrac{1984}{499963}$ affiché par la machine de Math Coss est ainsi atteint pour $n =999925=\max \left\{ k\in[\![0;10^6]\!] \mid k+11\equiv 0 \mod 504 \right\}.$)

D'autre part: $\:\forall n \in \N, \:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant\dfrac {a_{504}}{a_{503}} =257.\qquad \underset{n\in \N}{\max}\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right) =257.$

Ce message a été corrigé (inf à la place de min ) à la suite de la remarque ultérieure de Bisam.

bisam

Ce serait plutôt une borne inférieure (non atteinte) qu'un minimum, du coup...

LOU16

Bonjour Bisam,

Oui, en effet. J'avais d'abord écrit $"\inf "$, mais j'ai cru  chic et dégourdi de faire comme le programme de Math Coss  qui affiche un $"\min".\:\:\min $ ou $\inf$  ? Apparemment un peu trop subtil pour moi.

Merci. Je corrige.

Math Coss

Mon programme affiche un min parce qu'il n'est pas capable de calculer une infinité de valeurs. Ta réponse me paraît beaucoup plus chic et dégourdie que la mienne tout de même.