Droz-Farny, un alignement inattendu

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC    un triangle
2. H        l'orthocentre de ABC
3. L, M   deux demi-droites perpendiculaires issues de H
4. D, E   les points d'intersection de L, M avec (BC)
5. Y, Z    les points d'intersection de L et (AC), M et (AB)
6. X       le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de D avec la parallèle à (AC) issue de E.
Question :       X, Y et Z sont alignés.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour
Il suffit d'ajouter le code suivant à mon code du fil précédent:

% Question supplémentaire du 23 Mai 2023

% D, E   les points d'intersection de L, M avec (BC)
% Y, Z   les points d'intersection de L et (AC), M et (AB)
% X      le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de D 
%        avec la parallèle à (AC) issue de E.

% Question :   X, Y et Z sont alignés.

D=Ap; E=Ap(i*u); DB=ApB; EB=ApB(-i*u); % Pourquoi changer de notations ?
Y=Bp; Z=Cp(i*u); YB=BpB; ZB=CpB(-i*u);

[X XB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-D-a*b*DB,1,c*a,-E-c*a*EB);
X=Factor(X);

Mat=[X XB 1; Y YB 1; Z ZB 1];
NulXYZ=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc X,Y,Z sont alignés.

De plus, l'enveloppe des droites (XYZ) quand les droites orthogonales $(L)$ et $(M)$ tournent autour de $H$ est une conique.
Elle est tangente à $(AB)$ et $(AC)$.
Son centre est le milieu de $[BC]$ et ses foyers sont $H$ et l'antipode de $A$ dans le cercle circonscrit.
Mais son équation complexe, que j'ai calculée, est un peu compliquée.

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Bonsoir Rescassol,

merci pour ta régulière participation ...à mes propositions de problèmes...
J'ai pour ma part une preuve synthétique, mais j'attends d'autres initiatives.

Sincèrement
Jean-Louis