Exponentielle de matrice
Bonjour
Bizarrement je n'arrive plus à montrer que $(I_n+\frac{A}{k})^k$ tend vers $\exp(A)$
Je fais la différence et je développe via binôme de Newton, mais je n'aboutis pas.
Comment on fait ensuite ?
Merci.
Bizarrement je n'arrive plus à montrer que $(I_n+\frac{A}{k})^k$ tend vers $\exp(A)$
Je fais la différence et je développe via binôme de Newton, mais je n'aboutis pas.
Comment on fait ensuite ?
Merci.
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Réponses
Le but est de se ramener à ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}$ $$\begin{aligned}||(I_n + A/k)^k - \sum_{i \geq 0 } A^i/i!|| & = || \sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} A^i - \sum_{i \geq 0 } A^i/i! || \\
&\leq \sum_{i = 0}^k |{k \choose i} \frac{1}{k^i} - 1/i! | \times ||A||^i + \sum_{i \geq k+1} ||A||^i/i!
\end{aligned}$$ Là pour l'instant j'ai juste utilisé la sous-multiplicativité d'une norme d'algèbre et j'ai regroupé les termes de puissance $i$ ensemble.
$i!{k \choose i} \frac{1}{k^i} = \frac{k!}{k^i (k-i)!} < 1$ car $k! = (k-i)! \times \text{ i termes plus petits que k}$
Donc on simplifie : $$ \sum_{i = 0}^k |{k \choose i} \frac{1}{k^i} - 1/i! | \times ||A||^i = -\sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} ||A||^i + \sum_{i = 0}^k 1/i! \times ||A||^i$$
On se sert de ce qu'on sait déjà sur $\mathbb{R}$ $$\sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} ||A||^i = (1 + ||A||/k)^k \to \exp(||A||)$$ et $$ \sum_{i = 0}^k 1/i! \times ||A||^i \to \exp(||A||)$$ Enfin $$ \sum_{i \geq k+1} ||A||^i/i! \to 0$$ D'où le résultat.
Tu peux développer avec le binôme de Newton et utiliser le théorème de la double limite en vérifiant la convergence normale qui va bien.
Oui la double limite est sûrement plus rapide, mais c'est bien de l'argument de @noobey que j'essayais de me souvenir.
J'avais oublié d'utiliser que le théorème est vrai dans $\mathbb{R}$