Exponentielle de matrice

Tony Schwarzer
Modifié (May 2023) dans Algèbre
Bonjour
Bizarrement je n'arrive plus à montrer que $(I_n+\frac{A}{k})^k$ tend vers $\exp(A)$
Je fais la différence et je développe via binôme de Newton, mais je n'aboutis pas.
Comment on fait ensuite ?
Merci.

Réponses

  • noobey
    Modifié (May 2023)
    Je choisis $||.||$ une norme d'algèbre.
    Le but est de se ramener à ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}$ $$\begin{aligned}||(I_n + A/k)^k  - \sum_{i \geq 0 } A^i/i!|| & = || \sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} A^i - \sum_{i \geq 0 } A^i/i!  || \\
    &\leq \sum_{i = 0}^k |{k \choose i} \frac{1}{k^i} - 1/i! | \times ||A||^i  + \sum_{i \geq k+1} ||A||^i/i!
    \end{aligned}$$ Là pour l'instant j'ai juste utilisé la sous-multiplicativité d'une norme d'algèbre et j'ai regroupé les termes de puissance $i$ ensemble.
    Prochaine étape.  Enlever la valeur absolue sur $|{k \choose i} \frac{1}{k^i} - 1/i! |$. Il faut montrer que ce terme est de signe constant.
    $i!{k \choose i} \frac{1}{k^i} = \frac{k!}{k^i (k-i)!} < 1$ car $k! = (k-i)! \times \text{ i termes plus petits que k}$
    Donc on simplifie : $$ \sum_{i = 0}^k |{k \choose i} \frac{1}{k^i} - 1/i! | \times ||A||^i = -\sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} ||A||^i  +  \sum_{i = 0}^k 1/i!  \times ||A||^i$$
    On se sert de ce qu'on sait déjà sur $\mathbb{R}$ $$\sum_{i = 0}^k {k \choose i} \frac{1}{k^i} ||A||^i = (1 + ||A||/k)^k \to \exp(||A||)$$ et $$ \sum_{i = 0}^k 1/i!  \times ||A||^i \to \exp(||A||)$$ Enfin $$ \sum_{i \geq k+1} ||A||^i/i! \to 0$$ D'où le résultat.
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    @Tony Schwarzer
    Tu peux développer avec le binôme de Newton et utiliser le théorème de la double limite en vérifiant la convergence normale qui va bien.
  • Merci !
    Oui la double limite est sûrement plus rapide, mais c'est bien de l'argument de @noobey que j'essayais de me souvenir.
    J'avais oublié d'utiliser que le théorème est vrai dans $\mathbb{R}$
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