Calcul de norme
Bonjour,
Soient des entiers naturels $a_0<\dots<a_n$ et notons $A$ l'ensemble de ces entiers.
Pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, on pose : $$||P||_A=\operatorname{max}(|P(a_0)|,\dots,|P(a_n)|)$$ et on définit : $$d_{A,n}=\operatorname\{||X^n-P||_A | P \in \mathbb{R}_{n-1}[X] \}.$$ Je veux montrer que $\quad\displaystyle ||X^n-P||_A \geq \frac{n!}{2^n}$.
Les questions précédentes montrent respectivement que :
1) On peut écrire $\quad\displaystyle X^n-P=\sum_{k=0}^n b_k \prod_{i \neq k} (X-a_i)$ (on connait les b_i).
2) $\displaystyle\forall k, \ \prod_{i \neq k} |a_i-a_k| \geq \frac{n!}{\binom{n}{k}}$.
Mais je n'y arrive pas. On a : $\quad\displaystyle|(X^n-P)(a_{i_0})|=|b_{i_0}| \prod_{i \neq i_0} |a_{i_0}-a_i|\geq |b_{i_0}| \frac{n!}{\binom{n}{i_0}} $.
Je ne vois pas [comment] conclure, même avec expression explicite des $b_i$.
Une idée ?
Soient des entiers naturels $a_0<\dots<a_n$ et notons $A$ l'ensemble de ces entiers.
Pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, on pose : $$||P||_A=\operatorname{max}(|P(a_0)|,\dots,|P(a_n)|)$$ et on définit : $$d_{A,n}=\operatorname\{||X^n-P||_A | P \in \mathbb{R}_{n-1}[X] \}.$$ Je veux montrer que $\quad\displaystyle ||X^n-P||_A \geq \frac{n!}{2^n}$.
Les questions précédentes montrent respectivement que :
1) On peut écrire $\quad\displaystyle X^n-P=\sum_{k=0}^n b_k \prod_{i \neq k} (X-a_i)$ (on connait les b_i).
2) $\displaystyle\forall k, \ \prod_{i \neq k} |a_i-a_k| \geq \frac{n!}{\binom{n}{k}}$.
Mais je n'y arrive pas. On a : $\quad\displaystyle|(X^n-P)(a_{i_0})|=|b_{i_0}| \prod_{i \neq i_0} |a_{i_0}-a_i|\geq |b_{i_0}| \frac{n!}{\binom{n}{i_0}} $.
Je ne vois pas [comment] conclure, même avec expression explicite des $b_i$.
Une idée ?
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Réponses
Je ne comprends pas en quoi : $\ \sum\limits_{i=0}^n b_i=1$.
En effet : $\ \displaystyle b_j=\frac{a_j^n-P(a_j)}{\prod_{i \neq j} (a_j-a_i)}$, dont je ne vois pas comment la somme peut faire $1$.
Oui il faut bien supposer $P$ de degré $\leq n-1$.
Merci.
En fait j'ai l'impression qu'on a égalité si et seulement si les $a_i$ sont des entiers consécutifs.
Si les $a_i$ sont des entiers consécutifs alors pour chaque $k$ l'inégalité ci dessus est en fait une égalité. On choisit $P$ avec $b_k := \frac{n\choose k}{2^n}$. Et on vérifie que $P$ réalise cette distance à $X^n$.
Le même argument que dans les précédents messages en utilisant ces inégalités strictes montre que pour tout $P\in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ alors $d(X^n,P)>\frac{n!}{2^n}$. Cela devrait suffire à conclure (il faut faire attention à pourquoi on conserve l'inégalité stricte lorsqu'on va prendre l'infimum sur $P\in \mathbb{R}_{n-1}[X]$, ou sinon il faut quantifier l'erreur : $\exists \varepsilon,\ \forall k,\ \prod_{i\neq k}|a_k-a_i|>\frac{n!}{n\choose k}(1+\varepsilon)$).