Entiers qui s’écrivent sous la forme $2a^2+3b^2$ avec $a,b \in \N$

etanche

Bonjour

Caractériser les entiers qui s’écrivent sous la forme $2a^2+3b^2$ avec $a,b \in \N$ 
Merci.

Rescassol

Bonjour,

Source ?

Cordialement,
Rescassol

etanche

La prochaine fois je le mettrai dans mon post initial, ça t’évitera de poster ton message robotisé.

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Dom

On aura donc progressé. 

Rescassol

Bonjour
> La prochaine fois je le mettrai dans mon post initial
Bonne idée, je n'en attendais pas moins ... 
Mais je ne suis pas un robot.
Cordialement,
Rescassol

Math Coss

Et donc, la source est... ?

kolotoko

Bonjour,
voir A002480.
Bien cordialement.
kolotoko

etanche

@ kolotoko peux-tu mettre le lien si possible vers A002480 merci 

kolotoko

Bonjour,
voici : https://oeis.org/A002480
Bien cordialement.
kolotoko

LOU16

Bonjour,

Voici une caractérisation de  $\mathcal E=\left\{2x^2+3y^2\mid (x,y)\in \N^2\right\}, $ héritée de quelques souvenirs (j'espère ne pas être trahi par ma mémoire) sur la théorie des "formes quadratiques entières",

$ \mathbb P\:$ est l'ensemble des nombres premiers et pour $p \in \mathbb P, \:\:\mathcal V_p $ désigne la valuation $p-$adique.

$\widehat{ \mathbb P} :=\left\{2;3\right \}\cup \Big\{p\in \mathbb P\mid p \equiv1,7,5,11 \mod 24 \Big\},\quad \mathbb P^*:=\left\{2;3\right \}\cup \Big\{p\in \mathbb P\mid p \equiv 5,11 \mod 24 \Big\}.\:\: $ Alors:

$$\boxed{\:\forall n \in \N^*, \quad n \in \mathcal E\iff\left\{\begin{array}{c}\forall p\in \mathbb P, \:\mathcal V_p(n) \text{ impair } \implies p \in \widehat{\mathbb P}\\ \text{ et}\\ \#\Big\{ p\in \mathbb P^*\mid \mathcal V_p(n) \text { impair } \Big\}\text { est impair }. \end{array}\right.}$$

Tout cela repose sur les faits suivants: Soit $\:\mathcal F :=\left\{x^2+6y^2\mid (x,y) \in \N^2\right\}.$

$\bullet \forall p\in \mathbb P\setminus \{2,3\}, \quad p\in \mathcal E\cup \mathcal F\iff \left(\dfrac{-6}p\right) =1 \iff p \equiv 1,7,5,11 \mod 24.\quad\left(\mathcal E \cup \mathcal F\right) \cap \mathbb P= \widehat{\mathbb P}.$

$\bullet \forall p \in \mathbb P,\quad p\in \mathcal E\iff  p\equiv 2,3,5,11 \mod 24, \qquad p\in \mathcal F\iff  p  \equiv 1,7 \mod 24.$

$\bullet\:$ $\Phi(x,y)=x^2+6y^2 $ et $\Psi(x,y)=2x^2+3y^2$ sont les formes "réduites" représentant les deux classes d'équivalence de formes quadratiques binaires de discriminant $-24$, dont la loi de composition apparaît dans  les identités suivantes:

$\forall x,y,u,v\in\Z, \quad\begin{array} {l}(x^2+ 6y^2)(u^2+6v^2) =(xu-6yv)^2+6(xv+yu)^2\\(x^2+6y^2)(2u^2+3v^2) =2(xu-3yv)^2+3(xv +2yu)^2 \\(2x^2+3y^2)(2u^2+3v^2)=(2xu-3yv)^2 +6(xv+yu)^2.\end{array}.$

etanche

@ LOU16 merci pour tes souvenirs