Entiers qui s’écrivent sous la forme $2a^2+3b^2$ avec $a,b \in \N$

etanche
Modifié (May 2023) dans Arithmétique
Bonjour
Caractériser les entiers qui s’écrivent sous la forme $2a^2+3b^2$ avec $a,b \in \N$ 
Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    Source ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • etanche
    Modifié (May 2023)
    La prochaine fois je le mettrai dans mon post initial, ça t’évitera de poster ton message robotisé.
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • On aura donc progressé. 
  • Rescassol
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    La prochaine fois je le mettrai dans mon post initial
    Bonne idée, je n'en attendais pas moins ...  :)
    Mais je ne suis pas un robot.
    Cordialement,
    Rescassol
  • Et donc, la source est... ?
  • kolotoko
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,
    voir A002480.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • etanche
    Modifié (May 2023)
    @ kolotoko peux-tu mettre le lien si possible vers A002480 merci 
  • kolotoko
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,
    voici : https://oeis.org/A002480
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • LOU16
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,
    Voici une caractérisation de  $\mathcal E=\left\{2x^2+3y^2\mid (x,y)\in \N^2\right\}, $ héritée de quelques souvenirs (j'espère ne pas être trahi par ma mémoire) sur la théorie des "formes quadratiques entières",
    $ \mathbb P\:$ est l'ensemble des nombres premiers et pour $p \in \mathbb P, \:\:\mathcal V_p $ désigne la valuation $p-$adique.
    $\widehat{ \mathbb P} :=\left\{2;3\right \}\cup \Big\{p\in \mathbb P\mid p \equiv1,7,5,11 \mod 24 \Big\},\quad \mathbb P^*:=\left\{2;3\right \}\cup \Big\{p\in \mathbb P\mid p \equiv 5,11 \mod 24 \Big\}.\:\: $ Alors:
    $$\boxed{\:\forall n \in \N^*, \quad n \in \mathcal E\iff\left\{\begin{array}{c}\forall p\in \mathbb P, \:\mathcal V_p(n) \text{ impair } \implies p \in \widehat{\mathbb P}\\ \text{ et}\\ \#\Big\{ p\in \mathbb P^*\mid \mathcal V_p(n) \text { impair } \Big\}\text { est impair }. \end{array}\right.}$$
    Tout cela repose sur les faits suivants: Soit $\:\mathcal F :=\left\{x^2+6y^2\mid (x,y) \in \N^2\right\}.$
    $\bullet \forall p\in \mathbb P\setminus \{2,3\}, \quad p\in \mathcal E\cup \mathcal F\iff \left(\dfrac{-6}p\right) =1 \iff p \equiv 1,7,5,11 \mod 24.\quad\left(\mathcal E \cup \mathcal F\right) \cap \mathbb P= \widehat{\mathbb P}.$
    $\bullet \forall p \in \mathbb P,\quad p\in \mathcal E\iff  p\equiv 2,3,5,11 \mod 24, \qquad p\in \mathcal F\iff  p  \equiv 1,7 \mod 24.$
    $\bullet\:$ $\Phi(x,y)=x^2+6y^2 $ et $\Psi(x,y)=2x^2+3y^2$ sont les formes "réduites" représentant les deux classes d'équivalence de formes quadratiques binaires de discriminant $-24$, dont la loi de composition apparaît dans  les identités suivantes:
    $\forall x,y,u,v\in\Z, \quad\begin{array} {l}(x^2+ 6y^2)(u^2+6v^2) =(xu-6yv)^2+6(xv+yu)^2\\(x^2+6y^2)(2u^2+3v^2) =2(xu-3yv)^2+3(xv +2yu)^2 \\(2x^2+3y^2)(2u^2+3v^2)=(2xu-3yv)^2 +6(xv+yu)^2.\end{array}.$

  • @ LOU16 merci pour tes souvenirs
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