Série numérique 21 mai

etanche

Bonjour
Trouver une suite $(a_k)_{k\geq 1}$ strictement positive avec tous les $a_k\geq 5$, tels que $$\sum_{k\geq 1} \frac{1}{a_k(\ln(\ln(a_k)))^2}\ \text{ converge et } \ \sum_{k\geq 4} \frac{1}{a_k(\ln(\ln(k)))} \ \text{ diverge}. $$ Merci.

bisam

Il me semble qu'on peut prendre $a_k=5$ pour $k\leq 3$ puis $a_k=k\ln(k)$ pour $k\geq 4$.

La convergence ou la divergence se justifie avec les séries de Bertrand généralisées.