Les transpositions engendrent le groupe symétrique

OShine

Bonsoir

Je bloque sur les passages encadrés. Toujours des difficultés avec les sous-groupes engendrés.

On a montré précédemment le théorème suivant, dont la démonstration ne m'a pas posé de difficulté.

Proposition : 
Soit $n \geq 2$. Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$. Plus précisément, toute permutation non triviale peut s'écrire comme un produit d'un nombre $\leq n-1$ de transpositions.

Manda

Si tout élément s'obtient en combinant des trucs, et si chacun des trucs s'obtient en combinant des schmiblicks, alors tout élément s'obtient en combinant des schmiblicks.

OShine

D'accord merci, ça ressemble à la notion de sous-espace vectoriel engendré.

Heuristique

Pour le coup, c'est exactement la même, tout comme la tribu engendrée ou la topologie engendrée (à quelques détails près). Pourquoi ?

OShine

Le pourquoi je ne sais pas.

Mais ma difficulté est que pour moi si je voulais montrer que le groupe symétrique est engendré par les $(i \ i+1)$, je devais montrer que c'est le plus petit sous-groupe qui contient les $(i \ i+1 )$.
Pourquoi ici ce n'est pas nécessaire ? 

J'ai l'impression qu'on raisonne comme dans les espaces vectoriels et pas comme dans la notion de sous-groupe engendré.
C'est ça qui m'embrouille.

OShine

J'ai l'impression qu'ici on prend $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et qu'on montre que $\sigma \in Vect (i \ j)$ et comme $(i \ j ) \in Vect(i \ i+1)$ on a $\sigma \in Vect(i \ i+1)$.

Du coup le terme "engendre" ici ne fait pas référence au sous-groupe engendrés par une partie ? 

Heuristique

Evite le mot "Vect" pour des sous-groupes engendrés. Une partie $A$ engendre un groupe $G$ ssi tout élément de $G$ peut s'écrire comme produit d'un nombre fini d'éléments de $A$. Le raisonnement est le même que pour les sev, on remplace juste "combinaison linéaire" par "produit" mais la notion est la même.

OShine

D'accord merci.

lourrran

Tu as eu le même problème il y a environ 2 ou 3 mois avec 'isomorphisme canonique'.
Tu connais le mot isomorphisme, tu as forcément rencontré le mot canonique à plein de reprises en maths, et là, tu disais 'je n'ai jamais vu isomorphisme canonique'.

Si tu vois un adjectif que tu rencontres régulièrement, et que cet adjectif apparaît dans un nouveau contexte (isomorphisme canonique, sous-groupe engendré), ce n'est jamais un piège, c'est forcément une déclinaison de la signification que tu connais.

Kraw

La patience de @lourrran avec @OShine est remarquable.
Plus sérieusement, tu peux trouver cette démonstration dans n'importe quel cours de MPSI ou de groupes pour débutant.

OShine

@Kraw
Possible mais c'est l'un des chapitres les plus difficiles de MPSI avec celui du dénombrement.

@lourrran
Ok.

bisam

Le dénombrement actuellement fait en MPSI se faisait en Terminale, il y a moins de 30 ans. Ce n'est pas difficile : la plupart du temps, c'est simplement du bon sens.

Quant aux groupes, il y a 29 ans, ce fut le premier cours de mon année de Maths Sup. On a commencé par loi de composition interne, magma, associativité, neutre, monoïde, élément régulier à gauche ou à droite, élément symétrisable à gauche ou à droite, inverse, puis groupe et morphismes de groupes... le tout en 3h ! Je n'en suis pas mort, j'ai même trouvé ça génial... et même si certains dans la classe en ont un peu bavé, aucun n'a eu le toupet de penser que c'était l'un des chapitres les plus difficiles.

@Oshine : Si je ne me trompe pas, cela fait bientôt 15 ans que tu as passé ton bac, et 3 ans que tu as obtenu le CAPES. Tu pratiques les maths, presque tous les jours, donc tu ne peux pas dire que tu "perds des connaissances". Il serait peut-être temps que tu arrêtes de dire que tel ou tel chapitre de 1ère année après le bac est "difficile" et que tu admettes que tu ne sais pas apprendre tout seul.