Dérivées partielles

Ch4rstz

Je cherche sans m'intéresser à l'aspect pratique à comprendre le changement de variable en deuxième dimension. Il semblerait que si j'ai un couple (X,Y) dont je connais la loi (modélisée par une densité f) et que je veux déterminer la loi du couple phi(X,Y) alors je pose h quelconque bornée mesurable et je calcule l'espérance de E(h(phi(X,Y)). Puis j'ai une formule j'imagine bien connue avec un jacobien et des hypothèses sur phi (bijectivité, ouverts comme ensemble de départ et d'arrivée, continuité des dérivées partielles).

Mais avec l'exemple des coordonnées polaires il n'est pas pratique de faire tout cela avec phi parce qu'il est dur d'expliciter la fonction qui à deux réels associe l'argument du complexe associé dans ]0,2pi[. 
Donc on a le droit de passer par la bijection réciproque de phi. Donc je fais toutes les mêmes vérifications d'hypothèse sur phi et la formule finale se trouve un peu changé.

Ma question est : 
J'ai vu que si le jacobien de phi^{-1} ne s'annule pas alors c'est le cas du jacobien de phi grâce à une formule (que j'admets). Mais est-ce que si phi part d'un ouvert O et va dans un ouvert V j'ai équivalence entre la continuité des dérivées partielles de phi sur U et des dérivées partielles de phi^{-1] sur V. Cela ne m'aidera pas en pratique mais j'aimerais savoir si c'est vrai puisque ça me permettra de donner un minimum de sens à toutes ces formules.

En vous remerciant par avance pour vos réponses.

Poirot

La réponse à ta question finale est oui. Une fonction différentiable a ses dérivées partielles continues sur $O$ si et seulement si elle est de classe $\mathcal C^1$ sur $O$. Or la différentielle d'une bijection réciproque se calcule aisément à l'aide de la différentielle de l'application de départ grâce à la "règle de la chaîne" (ou différentiation des composées), ce qui permet de montrer le résultat, je te laisse chercher les détails.