Puissance symétrique d'une matrice

Joaopa

Bonjour à tous,

Soit $n,p$ des entiers naturels non nuls et $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Je cherche la définition de la puissance symétrique $p$-ème de $M$.  J'imagine que c'est l'analogue des puissance de Kronecker d'une matrice pour le produit tensoriel, mais pour la produit symétrique de modules.

aurelpage0

Bonjour
Soit $V$ un espace vectoriel. Pour tout $p$ entier naturel, on a la puissance $p$-ième symétrique $S^p V$ de $V$, qui est le quotient du produit tensoriel $p$ fois de $V$ modulo les relations qui font commuter les tenseurs. Cette construction est fonctorielle : tout endomorphisme $u$ de $V$ induit un endomorphisme $S^pu$ de $S^pV$.

Si on a une base $e_1,\dots,e_n$ de $V$, alors on obtient une base de $S^pV$ consistant en l'ensemble des monômes $e_1^{a_1}\dots e_n^{a_n}$ où $a_1+\dots+a_n=p$ (i.e. les monômes homogènes de degré $p$). Si $u$ a pour matrice $M$ dans la base $(e_i)$, alors $S^pu$ a une matrice $S^pM$ dans la base des monômes de degré $p$. Pour vraiment définir $S^pM$ il faut fixer un ordre sur la base des monômes ; je crois qu'en général on prend l'ordre lexicographique inverse sur les $a_i$. Par exemple, si $V$ a pour base $(e,f)$ on obtient $(e^2,ef,f^2)$ pour $S^2V$, puis $(e^3,e^2f,ef^2,f^3)$ pour $S^3V$, etc.

Exemple de calcul de matrice : soit $$M = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$

c'est-à-dire $u(e) = e$ et $u(f) = e+f$.

On obtient $u(e^2) = u(e)^2 = e^2$, $u(ef) = u(e)u(f) = e(e+f) = e^2+ef$ et $u(f^2) = u(f)^2 = (e+f)^2 = e^2+2ef+f^2$, d'où

$$S^2M = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Amicalement,
Aurel

Math Coss

Une remarque. Sur un corps de caractéristique nulle, $S^p(V)$ s'identifie au sous-espace des tenseurs symétriques, i.e. les invariants de $V^{\otimes p}$ par l'action naturelle de $\mathfrak{S}_p$ par permutation des facteurs. En caractéristique finie, les descriptions comme covariants (le quotient décrit par @aurelpage0) et comme invariants diffèrent en général. La raison en est que les représentations de $\mathfrak{S}_p$ cessent d'être semi-simples. Je te souhaite de rester en caractéristique nulle.

Joaopa

Merci à tous les deux. J'ai vu apparaître cette notion dans une preuve d'indépendance algébrique (https://hal.science/hal-00481912/fr/ ), pour passer d'existence de relations linéaires à relation algébrique. Avec vos messages, je comprends enfin pourquoi. Pour obtenir une relation de dépendance algébrique, on considère simplement une relation de dépendance linéaire sur les monômes. Malin.