Développement asymptotique
En tripotant les binomiaux j'ai remarqué quelque chose que je n'arrive pas à démontrer. Soit $$S(n)=\frac{n^{2}}{2^{n+2}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{{n \choose k}}{k(n-k)}$$
Qui peut montrer que lorsque $n$ tend vers l'infini on a $$S(n)=a_{0}+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{2}}{n^{2}}+\dots$$ où $\sum_{k\geq0}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}=\frac{1}{2-e^{x}}$ ?
J'ai essayé d'utiliser une des propriétés de ces nombres qui sont en fait bien connus en tant que nombres de Fubini mais je ne vois pas encore le truc évident.
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Réponses
On en déduit que pour tout $p > 0$, $S(n) = \frac{n}{2^{n+1}} A_n + o(n^{-p})$ or $\frac{n}{2^{n+1}} A_n = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{n}{n-k} 2^{-(k+1)}$. En utilisant $\frac{n}{n-k} = \sum_{j = 0}^{+\infty} \left(\frac{k}{n}\right)^j$, on obtient $S(n) = a_0 + \frac{a_1}{n} + ... + \frac{a_p}{n^p} + o(n^{-p})$ où $a_j = \sum_{k = 0}^{+\infty} k^j 2^{-(k+1)}$ sauf erreur.
Est-ce que tu as induit ton résultat d'observations numériques ?
Si $u_{0}=m\geq1$ est un entier on a $\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=\ell_{m}$ existe et j'obtiens un développement asymptotique à l'ordre $9$ pour la partie fractionnaire de la limite $$\left\{ \ell_{m}\right\} =\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{m^{6}}-\frac{1}{m^{7}}+\frac{3}{m^{8}}+O\left(m^{-9}\right) $$
En général il semble exister des entiers relatifs $\alpha_{k}$ tels que $$\left\{ \ell_{m}\right\} =\sum_{k\geq1}\alpha_{k}m^{-k} $$
La suite $\alpha$ commence par $1,1,0,0,0,-1,-1,3,4,-6,12,8,30,-1,-62,...$. Trivial ou pas de démontrer que cette suite est entière ?