Expression des projecteurs avec le lemme des noyaux

topopot

Bonjour
Je vais d'abord résumer ce que je pense être clair avant d'arriver à ma question.

Soient $\mathbb K$ un corps, $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $u$ un endomorphisme de $E$ et $(P_i)_{i\in I}$ une famille finie de polynômes de $\mathbb K[X]$ deux à deux premiers entre eux.
On note $P:=\prod\limits_{i\in I} P_i$ et $F:=\ker (P(u))$.
Alors d'après le lemme des noyaux : $$F=\underset{i\in I}\oplus \ker(P_i(u)).$$ De plus, si on note pour tout $i\in I$, $\ q_i$ le projecteur sur $\ker(P_i(u))$ associé à cette décomposition, alors $q_i$ est l'endomorphisme induit sur $F$ d'un polynôme en $u$ (ou ce qui revient au même, un polynôme en $u$ induit sur $F$).

Plus précisément, si l'on note pour tout $i\in I,\ Q_i:=\underset{j\in I\setminus\{i\}}\prod P_j$, alors $(Q_i)_{i\in I}$ est une famille de polynômes de $ \mathbb{K}[X]$ premiers entre eux dans leur ensemble donc il existe grâce au théorème de Bézout une famille $(R_i)_{i\in I}\in\mathbb{K}[X]^I$ telle que $ \sum\limits_{i\in I}R_iQ_i=1$. De là, on en déduit une expression de $q_i$ : $$q_i=(R_i Q_i)(u_F)\tag{ $\star$}.$$
Soit maintenant $(\lambda_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts, ce qui nous permet de poser pour tout $i\in I$, $P_i:=X-\lambda_i\in\mathbb{K}[X]$.
On considère ensuite $(L_i)_{i\in I}$ la famille des polynômes de Lagrange associée à $(\lambda_i)_{i\in I}$, i.e. pour tout $i\in I$, $L_i=\underset{j\in I\setminus\{i\}}\prod\dfrac{X-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}$.

Fixons $i\in I$. Je souhaite exprimer $q_i$ en fonction des $L_i$ à partir de $(\star)$ mais je ne vois pas comment gérer $R_i$. Sauf erreur, j'arrive toutefois à voir que $L_i=\dfrac{Q_i}{\underset{j\in I\setminus\{i\}}\prod (\lambda_i-\lambda_j)}$.

MrJ

Je n’ai pas de brouillon sous la main pour vérifier, mais ne suffit-il pas de considérer et simplifier $\displaystyle{\sum_{i\in I} L_i}$ ?

MrJ

Pour préciser mon message précédent, notons $\displaystyle{\mu_i = \prod_{j\in I\setminus\{i\}} (\lambda_i - \lambda_j)}$ pour tout $i\in I$.

1) En reprenant tes notations, on a $Q_i = \mu_i L_i$.

2) D'autre par, comme $\displaystyle{\sum_{i\in I} L_i = 1}$, on peut poser $R_i = \dfrac{1}{\mu_i}$ pour tout $i\in I$.

On en déduit que $q_i = L_i(u_F)$ pour tout $i\in I$, ce que l'on aurait pu deviner au début (car $L_i(u_F)(x_j) = L_i(\lambda_j) x_j$ pour tout $x_j\in \ker(P_j(u))=\ker(u - \lambda_j \textrm{Id})$.

topopot

Oh merci, je regarde en réécrivant ce que tu dis et reviens si je bloque ! 

topopot

C'est bon, au final on a bien $q_i=L_i(u_F)=\underset{j\in I\setminus\{i\}}\prod\dfrac{u_F-\lambda_j\mathrm{Id}_F}{\lambda_i-\lambda_j}$