Valeurs propres

Cere

Bonjour
Soit $A \in M_n(\R)$ et $v \in \R^n$. 
$A$ n'est pas inversible mais je connais ses valeurs propres. 
Est-ce que je peux connaîtres les valeurs propres de $A + vv^T$ ? 
Si $A$ était inversible, je pourrais par exemple utiliser le "lemme du déterminant" https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma .
Merci d'avance pour votre aide.

john_john

$(A+v\cdot\,^t\!v)-\lambda{\rm Id}=(A-\lambda{\rm Id})+v\cdot\,^t\!v$ ; cela devrait suffire ?

Cere

Merci pour ton message. 
Cependant, je ne comprends pas comment cela suffit. 
A-t-on ici une relation particulière pour le determinant de la somme ? 

Foys

$\renewcommand{\det}{\mathrm{dét}}$Soit $K$ l'anneau de polynômes à $n^2+2n$ indéterminées $\Z[X_{i,j}; Y_k Z_{\ell} \mid 1\leq i,j,k,\ell \leq n]$. Alors $K$ est un anneau intègre donc il est contenu dans un corps $F$ (son corps des fractions). D'autre part pour tout anneau commutatif $L$ et tous $(u_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}, (v_k)_{1\leq k \leq n}, (w_{\ell})_{1\leq \ell \leq n}) \in L^{n^2+2n}$, il existe un unique morphisme $\varphi: K \to L$ tel que pour tous $i,j,k,\ell\in \{1,\dots,n\}$, $\varphi(X_{i,j}) = u_{i,j}$, $\varphi(Y_k) = v_k$ et $\varphi(Z_{\ell}) = w_{\ell}$. Grâce à ce morphisme on peut transporter n'importe quelle égalité algébrique (polynomiale) de $K$ dans un anneau $L$ même si celle-ci a été démontrée dans un corps (en l'espèce $F$).

Voici un exemple de ça.

Soit $B:=(i,j)\mapsto X_{i,j}$. $\det(B)$ est non nul (sinon on pourrait remplacer chaque indéterminée par n'importe quoi et montrer que toute matrice carrée de taille $n$ a un déterminant non nul dans n'importe quel anneau ce qui est faux) et donc $B$ est inversible dans $M_n(F)$.

Soient $u:= (Y_1,\dots,Y_n)$ et $v:= (Z_1,\dots,Z_n)$. Alors on a l'identité $\det(B + UV^T) = \det(B )(1 + V^T (B^{-1} U)) = \det(B ) + V^T (com(B ))^T U$ dans $F$ grâce à la formule de Cramer. Or $\det(B ),U,V$ et $com(B )^T$ appartiennent respectivement à $K,K^n,K^n$ et $M_n(K)$ et donc l'identité $\det(B +U^T V) = \det(B ) +V^T (com(B ))^T U$ est une identité dans $K$ et reste valide dans n'importe quel anneau par ce qui précède.

Il n'y a plus qu'à prendre $B:= A - \lambda I$.

Cere

Merci beaucoup Foys pour ces détails, 
En fait, je peux donc appliquer le lemme avec la comatrice au lieu de l'inverse. 
C'est d'ailleurs une formule présente sur la page que j'ai citée, mais je ne l'avais même pas remarqué !
Elle est pourtant que deux lignes en dessous...
En tout cas, tes détails permettent de mieux comprendre cette généralisation que je ne connaissais pas.

john_john

Bonjour Cere
Ma réponse consiste à dire que, si tu disposes d'une méthode où $A$ est inversible, tu peux t'y ramener dans le cas contraire en lui soustrayant $\lambda id$, avec $\lambda$ bien choisi. Ensuite on rajoute ce $\lambda$ aux valeurs propres trouvées.