Convergence en loi "sur tout compact"

skilim

Bonjour,

Je cherche à démontrer le résultat suivant : si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires et $X$ une variable aléatoire telles que pour tous $a,b \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(a<X_n<b) \longrightarrow \mathbb{P}(a<X<b)$ alors $(X_n)$ converge en loi vers $X$. 

Je n'arrive même pas à montrer que $\mathbb{P}(a<X_n) \longrightarrow \mathbb{P}(a<X)$ : je ne vois pas comment justifier l'interversion des limites $b \to +\infty$ et $n \to +\infty$. J'ai tenté de poser $g_n(b)=\mathbb{P}(a<X_n<b)$ et de prouver que cette suite de fonctions converge uniformément, sans succès. Si quelqu'un a une idée... Merci d'avance !

[EDIT : résolu à base d'epsilons. Désolé pour le bruit.]

girdav

Pour chaque entier $k$, on peut trouver $R_k>R_{k-1}$ tel que $\mathbb P(\lvert X\vert\geqslant R_k)\leqslant 1/k$. De plus, pour chaque $k$, on peut trouver $N_k$ tel que pour $n\geqslant N_k$, $\left\lvert \mathbb P(-R_k<X_n<R_k)- \mathbb P(-R_k<X<R_k)\right\rvert<1/k$. Comme $\left\lvert \mathbb P(-R_k<X_n<R_k)- \mathbb P(-R_k<X<R_k)\right\rvert=\left\lvert \mathbb P(\lvert X_n\rvert \geqslant R_k)- \mathbb P(\lvert X\vert\geqslant R_k)\right\rvert$, on trouve que pour $n\geqslant N_k$, $\mathbb P(\lvert X_n\rvert \geqslant R_k)\leqslant 2/k$. Ceci montre que $\lim_{R\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\mathbb P(\lvert X_n\rvert \geqslant R)=0$.

Ceci permet de montrer que pour chaque $a$, $\mathbb{P}(a<X_n) \longrightarrow \mathbb{P}(a<X)$.