Groupe cyclique

OShine

Bonjour,

Je bloque sur trois points de l'exercice.

• Je ne comprends pas pourquoi $z=e^{2u \pi /n}$ ce n'est pas plutôt il existe $k \in [|0,n-1|]$ tel que $z=e^{2i k \pi /n}$ ? 
• Je n'ai pas compris pourquoi on a le droit d'écire $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$, car $K$ est juste supposé un groupe fini de $G$.
• Je ne comprends pas où on a montré que les sous-groupes finis de $\C^{*}$ sont les $\mu_n$.

JLT

Le seul truc qui n'est pas une erreur du livre ou une trivialité est l'assertion suivante :

Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $(\C^*,\times)$. Alors il existe $n$ tel que $G=\mu_n$.

Exercice : le démontrer.

gerard0

Le premier encadré en rouge est un classique de lycée. Après des années de refus d'apprendre enfin ses cours de lycée, OS est puni de sa fainéantise.

gai requin

Sans exponentielles !
Soit $K$ un sous-groupe fini de $G$ et $n=\#K$.
Pour tout $z\in K$, on a $z^n=1$ d’après Lagrange.
Donc $K=\mu_n$.
De plus, pour tout diviseur $d$ de $n$, l’équation $z^d=1$ possède exactement $d$ solutions dans $K$ qui est donc cyclique.

nicolas.patrois

C’est qui, $\mu_0$ ?

Aristide Fatou

La démarche de l'exercice est très fastidieuse si l'objectif est seulement de montrer que $K$ est cyclique.

Si on note $n$ l'ordre de $K$, prouver que $K \subset \mu_n$, puis conclure.

JLapin

OShine a dit :

Bonjour,

Je bloque sur trois points de l'exercice.

• Je ne comprends pas pourquoi $z=e^{2u \pi /n}$ ce n'est pas plutôt il existe $k \in [|0,n-1|]$ tel que $z=e^{2i k \pi /n}$ ? 
• Je n'ai pas compris pourquoi on a le droit d'écire $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$, car $K$ est juste supposé un groupe fini de $G$.
• Je ne comprends pas où on a montré que les sous-groupes finis de $\C^{*}$ sont les $\mu_n$.

Point 1) : coquille évidente.

Point 2) : cherche

Point 3) : à la fin de l'exercice. Cherche pourquoi.

Julia Paule

gerard0 a dit :

Le premier encadré en rouge est un classique de lycée. Après des années de refus d'apprendre enfin ses cours de lycée, OS est puni de sa fainéantise.

A te croire, si $z^4=1$, alors $z=i$. En effet, c'est un classique du lycée. 

Et toi tu es puni de ta ... (je me retiens). C'est toi qui te discrédite à vouloir tacler OS.

OShine

@nicolas.patrois
Bonne remarque. $\mu_0$ n'existe pas, il faudrait préciser $n \in \N^{*}$.

@JLT j'ai démontré qu'ils sont isomorphes, mais pour l'égalité je ne vois pas.
Exercice : 
Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $(\C^*,\times)$. Alors il existe $n$ tel que $G=\mu_n$.

Ma solution :  
Comme $G$ est un groupe cyclique, il est fini et monogène, il existe $g \in G$ tel que $G=\langle g \rangle =\{ 1,g,g^2, \cdots, g^{n-1} \}$. 
Soit $n$ l'ordre de $g$ alors $n = \# G$ et $g^n=1$. 
On définit l'application : $f : \mu_n=\langle z \rangle \longrightarrow G$ où $z$ est une racine primitive de l'unité et $\forall k \in [|0,n-1|] \ f(z^k)=g^k$.
Morphisme : 
Si $k,l \in [|0,n-1|]$, on a $0 \leq k+l \leq 2n-2$. On effectue la division euclidienne de $k+l$ par $n$, ce qui donne $k+l=qn+r$ avec $0 \leq r \leq n-1$.
$f( z^k z^l)=f(z^{k+l})=f ( (z^n)^q z^r)=f(z^r)=g^r=g^{qn+r}=g^{k+l}=g^k g^l =f(z^k) f(z^l)$.

On a $\# G = \# \mu_n$, il suffit de montrer que l'application $f$ est injective.

Injection : 
Supposons que $f(z^k)=f(z^l)$ avec $k,l \in [|0,n-1|]$. Donc $-(n-1) \leq k-l \leq n-1$
Alors $g^k=g^l$. Donc $g^{k-l}=1$. Donc $k-l$ divise $n$ et $k-l \equiv 0[n]$. On en déduit $k-l=0$ et $k=l$.

$f$ est un isomorphisme de groupes, donc $\boxed{G \approx \mu_n}$.

OShine

gai requin a dit :

Sans exponentielles !
Soit $K$ un sous-groupe fini de $G$ et $n=\#K$.
Pour tout $z\in K$, on a $z^n=1$ d’après Lagrange.
Donc $K=\mu_n$.
De plus, pour tout diviseur $d$ de $n$, l’équation $z^d=1$ possède exactement $d$ solutions dans $K$ qui est donc cyclique.

Très rapide comme preuve. 
Pas compris la dernière ligne le rapport entre les diviseurs de $n$ et le fait que $K$ soit cyclique.

OShine

@JLapin
J'ai cherché depuis hier, je ne comprends pas comment on passe de "soit $K$ un groupe fini de $G$" à $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$.
Comment on sait que $K$ s'écrit sous la forme $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$ ?

gai requin

@OShine : la dernière ligne utilise une caractérisation des groupes cycliques qu’on trouve dans tout bon cours de théorie des groupes.

NicoLeProf

J'ai l'impression que la preuve de cette caractérisation des groupes cycliques est vraiment très similaire à la preuve de : "$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*,\times)$ est cyclique" (sans utiliser la notion de corps, je parle de cette preuve).

-> On montre qu'il existe un élément de $K$ d'ordre $p^{\alpha}$ où $p^{\alpha}$ est un facteur premier quelconque de $n=Card(K)$.

-> On utilise le lemme du lien que j'ai mis ci-dessus (youpi, je sais insérer un lien dans un texte maintenant hihi ) 

-> On conclut qu'il existe un élément de $K$ d'ordre $n$ donc que $K$ est cyclique.

OShine

Je ne comprends pas pourquoi tu montres que $K$ est cyclique alors qu'on sait déjà que $K=\mu_n$ et on sait que $\mu_n$ est cyclique engendré par une racine primitive de l'unité. 

Le seul théorème que je connais avec des diviseurs est le suivant, mais je ne vois pas le rapport avec ta démonstration. 

Théorème : 
Soit $C_n$ un groupe cyclique à $n$ éléments et soit $a$ un générateur de $C_n$.
Pour tout diviseur positif $d$ de $n$, il existe un unique sous-groupe $H_d$ de $C_n$ ayant $d$ éléments. Si $n=dd'$ alors $H_d = \langle a^{d'} \rangle$.
Le groupe $H_d$ est cyclique et ses générateurs sont les éléments de $C_n$ qui sont d'ordre $d$. 

OShine

@NicoLeProf
Tu sais pourquoi on a le droit d'écrire $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$ ? 

NicoLeProf

Hum... Je vais être honnête et c'est rare que je dise ça : je n'aime pas cet exo, je le trouve débile (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?)...

En effet, la preuve a été donnée par gai requin en quelques lignes et c'est élémentaire : si $K$ est un sous-groupe fini de $C^*$ ($n=Card(K)$), alors par le théorème de Lagrange, tout $z \in K$ vérifie $z^n=1$ .

Donc tout élément de $K$ est une racine $n$-ième de l'unité ainsi, $K \subset \mu_n$ et comme on a l'égalité des cardinaux, $K=\mu_n$ .

Or, $\mu_n$ est cyclique et engendré par $e^{\frac{2i \pi}{n}}$ donc $K$ est cyclique.

Conclusion : les sous-groupes finis de $C^*$ sont les sous-groupes $K$ de la forme $K=\mu_n$ où $n \in \mathbb{N}^*$ . Ce qui répond à l'exo de JLT d'ailleurs. Ou alors, j'ai loupé un truc?

Sinon, pour tenter de répondre à ta question OS, c'est une conséquence de la question 3) je pense mais bon, les $x_i$ ne sont pas définis donc bof.

gai requin

Voyons @NicoLeProf, $K$ est engendré par tous ses éléments qui sont en nombre fini !

NicoLeProf

Oui en effet lol je n'ai pas vu l'évidence ici !!!

Je préfère quand même ta preuve bien plus directe !

OShine

Ah oui c'est une propriété élémentaire sur les sous-groupes engendrés par une partie. 

Tout groupe fini $G=\{g_1, \cdots, g_n \}$ est engendré par lui même donc $G= \langle g_1, \cdots, g_n \rangle$.

OShine

Par contre je ne comprends pas quel théorème permet d'en déduire cette ligne : 

Pour tout diviseur $d$ de $n$ l'équation $z^d=1$ admet $d$ solutions distinctes dans $K$ donc $K$ est cyclique. 

gai requin

C’est un exercice de dénombrement.

JLT

C'est plus ou moins la démarche de la question 6 du problème 1 d'agreg interne 2023 (avec des complications en moins).

OShine

Dans le sujet d'agreg on parle de corps, ici de groupes.
Cette propriété me semble plus difficile à démontrer que tout l'exercice du livre.
Vous critiquez l'énoncé, mais il a le mérite d'être d'un niveau accessible. Je pense que l'auteur du livre a rédigé l'exercice de cette façon de sorte à n'utiliser que des connaissances élémentaires. 

JLT

Le seul endroit du sujet d'agreg où on utilise les corps c'est pour dire que l'équation $x^d=1$ a au plus $d$ solutions. Si on prend un groupe dans lequel cette propriété est vraie alors en reprenant la démonstration du sujet d'agreg et en oubliant les corps on retrouve l'assertion de gai requin.

LeVioloniste

Je me pose une question : $\mathbb{Z}$ est monogène engendré par 1, donc on peut avoir 1 générateur pour un groupe de cardinal infini. Existe-t-il des groupes finis dont le nombre de générateurs est le cardinal du groupe, cad qu'aucun élément ne peut être engendré par un autre élément du groupe ? Idem pour des groupes de taille infinie.

JLT

Tu veux dire le nombre de générateurs minimal je suppose. Pour un groupe fini, à part le groupe trivial $\{0\}$ il n'y en a pas car $G$ est toujours engendré par $G\setminus \{e\}$. Pour un groupe infini, le groupe libre sur un ensemble dénombrable de générateurs est dénombrable, et toute partie génératrice est infinie dénombrable.

noobey

En gros tu veux que x² = x  donc que x = e pour tout x

LeVioloniste

@JLT Supposons que le groupe $G$ est de cardinal $n$. $e$ l'élément neutre ne peut être un générateur. Peut on avoir une partie génératrice minimale de $n-1$ éléments c'est-à-dire que les éléments ne peuvent se générer les uns par rapport aux autres ? Je reste en dimension finie.

noobey

Tu demandes alors que tout élément $x$ non nul vérifie $x^2 = e$
Alors un résultat classique dit que $G$ est du type $(\Z/2\Z)^n$ 

JLT

Soit $\{g_1,\ldots,g_k\}$ une partie génératrice minimale. Soit $H_i$ le sous-groupe engendré par $g_1,\ldots,g_i$. Alors $H_i$ est un sous-groupe strict de $H_{i+1}$ pour tout $i$ donc $\# H_{i+1}\geqslant 2\# H_i$, par conséquent $G$ est de cardinal au moins $2^k$.

OShine

@JLT
Ok merci.

gerard0

Julia Paule a dit :

A te croire, si $z^4=1$, alors $z=i$. En effet, c'est un classique du lycée. 

Et toi tu es puni de ta ... (je me retiens). C'est toi qui te discrédite à vouloir tacler OS.

Je n'ai même pas vu l'absence d'un $k$ (classique dans l'expression habituelle). OS aurait vu l'oubli si il avait appris les cours qu'il a négligés à 17 ans, ce qui lui a coûté cher en prépa, et qu'il a refusé ensuite d'apprendre pour passer le capes.
Quant à toi, continue de défendre ton petit chouchou, qui a l'avantage de te faire te sentir forte, vu ses incapacités notoires. Continue à justifier son comportement absurde, tu ne fais que te ridiculiser à soutenir un comportement infantile.

AD

STOP aux chamailleries à propos d'OShine.
Merci.
AD

Julia Paule

AD, je suis obligée de répondre.

@gerard0, non OS n'est pas mon "chouchou", je défendrais n'importe qui qui se fait dénigrer sur le forum, parce que ces messages insultants m'apparaissent inutiles, déplaisants, vains, pas constructifs, énervants, ils encombrent la discussion, détournent l'intérêt du fil, et pour finir ils sont incompréhensibles. Quel est le but, qu'est-ce que cela apporte ?

Les messages d'OS sont souvent intéressants, on y apprend des choses, parce qu'il ose dire qu'il ne comprend pas. Par exemple, c'est très intéressant sa façon de dérouler des sujets d'annales, ou des exercices.

Donc en fait, pour poser des questions sur le forum, il faut déjà avoir la réponse ?

Je trouve cette attitude idiote, et que c'est plutôt ceux qui le rembarrent systématiquement qui se sentent forts à moindres frais. Et je m'en moque d'être ridicule, je peux te le retourner.

AD

@Julia Paule, je suis obligé de te bannir 24h, pour ne pas tenir compte des demandes de la modération.

Bon. Je ferme cette discussion.
AD