Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.
1)Démontre que $h$ est continue sur $I$
2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$
Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
Voilà j'ai besoin de ton avis sur cette question. Il s'agit de justifier d'une formule de l'exponentielle d'un endomorphisme.
J'ai proposé 2 solutions. Je voudrais ton avis sur celle qui se passe sur une double somme dont une infinie. Ma question est la suivante : l'argument de continuité des projecteurs et de l'identité $p_i$ et $q_i$ suffisent-elles pour utiliser la somme infinie ? Je voudrais savoir ce que tu aurais fait à cette question pour une écriture impeccable et rigoureuse.
Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.
1)Démontre que $h$ est continue sur $I$
2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$
@gebrane Je vais essayer de répondre à ta question.
1) Bon
soit $a \in I$. $h$ est continue en $a$ ssi $\forall \epsilon > 0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\alpha$, $|h(t)-h(a)| < \epsilon$
Pour parodier quelqu'un, je trouve que la question du @violoncelliste "c'est du chinois." Maintenant la question s'adressant à monsieur le lapin , nous aurons peut être une explication plus claire.
Le problème est que tu es certain que je suis mangeur des annales et que je suis certain que bd2017 = le violoniste. Donc bd2017 le rusé a posé cette question au nom de son cousin le violoniste cette question pour comprendre. Note salut et seul espoir est Jlapin
Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
Non je ne suis pas le violoniste. D'ailleurs je ne sais pas poser des questions aussi sophistiquées. Le sujet n'avance plus. Tu fais un détournement de l'attention parce que tu bloques ?
2) Allez je veux bien essayer la question sur la dérivation
Je veux évaluer : pour t dans $I$ et u dans $I$ avec $t+u$ dans $I$ ; $(h(t+u)-h(t))/u = (<f(t+u),g(t+u)>-<f(t),g(t))>)/u \leq ||f(t+u)-f(t)||.||g(t+u)-g(t))||/u$
Or avec un DL adéquat : $h(t+u)-h(t)=uf'(t) + o_0(u)$ alors $(h(t+u)-h(t))/u \leq u.||f'(t)||.u.||g'(t)|| /u \leq u.||f'||_{\infty}||g'||_{\infty}$
D'où la dérivablité.
@MangeurAnnales : Voilà , finit-nous ce sujet MP ennuyeux. Merci à toi !
Je vais me faire tirer dessus par @Alexique mais ce n'est pas grave, il a l'habitude de réagir.
Je reviens à ma question sur le calcul de l'intégrale $b(x,a(x))$. Dans la question $x \in \mathbb{R}^n$
Le problème est la justification de la dérivation du produit scalaire. $(<f,g>)'=<f',g>+<f,g'>$
Je veux justifier cela de manière impeccable.
Alors je pose $F$ et $G$ de fonctions vectorielles $I \mapsto \mathbb{R}^p$, $\forall x \in I$, $<f(x),g(x)>=F(x).G(x)$ je passe en fait aux coordonnées.
J'ai : $<f(x),g(x)>=f_1(x).g_1(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)$ et je dérive : $(<f(x),g(x)>)'=f_1'(x).g_1(x)+f_1(x).g_1'(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)+f_p'(x).g_p'(x)=F'(x).G(x)+F(x).G'(x)=<f'(x),g(x)>+<f(x),g'(x)>$
Et là je reviens à notre question : $(<e^{ta}(x),e^{ta}(x)>)'=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x))'>=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x)) \circ a(x)>$
Ici avec C15. on a la convergence de l'intégrale du produit scalaire qui impose : $lim_{t \mapsto +\infty} <e^{ta}(x),e^{ta}(x)> = lim_{t \mapsto +\infty} ||e^{ta}(x)||^2 = 0$. Il reste $2b(x,a(x))=-<e^{0}(x),e^{0}(x)>=-||x||^2=dq(x)\circ a(x)$.
Mon cousin, tu dois traiter l'exercice en toute sa généralité, tu ne peux pas passé en coordonnées, tes fonctions sont à valeurs dans un espace E préhilbertien
Citation : "La seule façon de faire du bon travail est d'aimer ce que vous faites." - Steve Jobs
Réponses
Le sujet n'avance plus. Tu fais un détournement de l'attention parce que tu bloques ?
Avec une rédaction parfaite selon les critères de ton jumeau le @musicien.
Ça me plaît !