Sujet CCMP - Maths 1 - 2023

245

Réponses

  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    dp a dit :
    Pour quelqu'un qui est inscrit depuis même pas une semaine sur le forum, tu as l'air 'achement bien au courant de comment OShine écrit ici.
    Normal il est très actif. Il a même un topic le concernant ! Une vraie star je vous jure. Quand il va passer l'agrégation il va tout exploser sur son passage.
  • Au fait ceux qui lisent, comment trouvez-vous ce sujet ?
  • "piss&love"
    J'ai bien ri. Merci.
  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    B6.
    Considérons $y \in a(E_i)$. Si $x \in E_i$, alors $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$
    Attention à la rédaction ici : soit $y \in a(E_i)$ alors il existe $x \in E_i$ tel que $a(x)=y$ ... (C'est très scolaire ma rédaction mais c'est une simple application de la définition d'un s.e.v stable par un endomorphisme).
    B6.
    Pour moi c'est à l'envers : tu veux $x \in E_i$ alors $a(x) \in E_i$. Là tu pars de la conclusion.
    Non, attention ! Revois la définition de ce qu'est un s.e.v stable par un endomorphisme, ici, on cherche à montrer que pour tout $i \in \{1,...,r\}$, $a(E_i) \subset E_i$. C'est bien pour cette raison que je considère $y \in a(E_i)$ .
    MangeurAnnales a dit :
    Une autre idée que j'ai est que $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ et $a$ commutent. Alors $E_i=Ker(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ est stable par $a$.
    C'est l'argument central ici à mettre en évidence, pourquoi est-ce vrai d'ailleurs?
    Maintenant, tu as toutes les clés pour faire B. 6 avec soin ! ;):)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B6.
    Arghhh ! Je reprends. Je vais faire du propre. Déjà je fixe $i \in \{1,...,r\}$.
    Soit $y \in a(E_i)$.  $\exists x \in E_i, y=a(x)$. De plus $x$ vérifie $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$.
    Puis $a \circ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$, encore puisqu'on peut commuter (merci l'algèbre des polynômes commutative) $ (a-\lambda_i.Id)^{m_i} \circ a(x)=0$. Donc $a(x)$ est dans le noyau de $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ donc dans $E_i$.
    Cela vous convient-il maître @NicoLeProf ?
    D'ailleurs cela fait penser que les sous-espaces propres avec l'écriture $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$ sont inclus dans les sous-espaces caractéristiques.
    Très bien ce problème de CCMP !







  • Je crois qu'il me faut quelqu'un comme toi pour m'accompagner dans ce forum. Les autres, bd, Jlapin et Raoul, sont devenus de véritables acrobates. Ils font des  maths: un sport de haut niveau, des hautes voltiges
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @gebrane Quels sont tes centres d'intérêts en mathématiques ici ?
    Moi je veux publier des corrections de problème de concours. Et travailler avec @OShine la seule véritable vedette de ce forum.
    Après tout le monde a ses faiblesses : le champ des mathématiques est tellement large ... Ne t'inquiètes pas on leur trouvera des points faibles.
    Je trouve qu'à haut niveau, les mathématiques c'est connaître ses recettes de cuisine par cœur. Les problèmes de concours cela reste sympa et abordable en se cassant un peu la tête.
  • C'est bien MangeurAnnales, tu peux être encore plus précis sur la commutativité en disant que deux polynômes d'un même endomorphisme commutent mais oui c'est ça !
    "Maître NicoLeProf" carrément? Euh... NicoLeProf suffira, tu risques d'être déçu après : je suis archi archi loin d'être aussi brillant que la plupart des gens sur ce forum ! ^^' :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • OShine
    Modifié (May 2023)
    Le problème est que j'ai perdu en motivation, je suis un peu découragé, j'ai abordé le chapitre sur le groupe symétrique et j'ai d'énormes difficultés. 
    Je me rends compte que mon niveau est très faible sur le groupe symétrique.
  • @NicoLeProf Bah ne sois pas modeste tu es agrégé ... Tu ne l'as pas reçue dans une pochette surprise ?
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @NicoLeProf Est-ce que tu peux me dire si ma dernière réponse B5 est fausse ? Je ne vois pas d'erreur notamment ce que dit @bd2017 me trouble.
    Merci
  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    Alors oui je suis agrégé, mais il y a plein de choses que je ne sais pas faire... Je pense juste que le niveau de l'agrégation interne est très raisonnable (le moins que l'on puisse dire) car je suis loin d'être brillant : je fais des erreurs sur des choses assez basiques pour les personnes de ce forum.
    Sur ce sujet, dès qu'il y a des normes, je ne pense pas être en mesure de faire des choses : c'est davantage sur l'algèbre que je suis à l'aise mais sur des sujets comme la topologie ou les probas ou l'informatique, c'est ... compliqué ! ^^' :D
    @OShine, reste motivé : si j'ai réussi, tu peux y arriver : ok y a des choses que tu ne comprends pas mais tu sais faire de plus en plus de choses aussi donc courage : continue à t'accrocher : tu peux clairement avoir le concours et tu as le temps d'ici l'année prochaine !!! Je continuerai à répondre à tes questions d'algèbre si je comprends ce dont il est question !!! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @OShine Franchement en maths le groupe symétrique : c'est bien pour les actions de groupe. Je trouve que ce qui est difficile dans la théorie des groupes se sont les dévissages. Casser un groupe en morceaux est difficile. Si tu lis le livre de P.Ortiz tu verras. C'est du lourd. Le groupe symétrique a-t-il un grand intérêt ?
  • @OShine après tu as des profs agrégés ici qui sont performants comme @NicoLeProf. Tu peux bosser avec lui il est sympa et il t'aide et il est bienveillant. Tu sens le prof que tu aurais aimé avoir quand on était à l'école. Après ce qui m'énerve ce sont les gens qui ne sont pas sympas, tout cela parce qu'ils sont brillants et donc ils t'écrasent. Toi tu cherches à bien détailler les choses et comprendre. Ce sont d'autres qualités qui se dégagent de tes écrits ici.
    Ne te décourage pas mon ami.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B10.
    On va partir de la définition de l'endomorphisme $a_i$ et essayer d'utiliser les questions précédentes.
    Pour $i \in \{1,...,r\}$, $t \in \mathbb{R}$ on va réutiliser les sous-espaces caractéristiques : Soit $ (a_i-\lambda_i.Id)^{m_i}=0$
    Puis $e^{t.a_i}=e^{t.(a_i-\lambda_i.Id+\lambda_i.Id)}$ (ruse)
    $e^{t.a_i}=e^{t.\lambda_i.Id}.e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}$ avec $e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{t^k}{k!}. (a_i-\lambda_i.Id)^k}$. En utilisant la norme triple :
    $|||e^{t.a_i}|||_i \leq |e^{t.\lambda_i}|.\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)^k|||_i} \leq |e^{t.\lambda_i}|.\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k}$
    On a montré $\boxed{\forall i \in \{1,...,r\}, \forall t \in \mathbb{R}, |||e^{t.a_i}|||_i \leq |e^{t.\lambda_i}|.\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k}}$



  • OShine
    Modifié (May 2023)
    @NicoLeProf
    Merci après c'est assez normal que le niveau de l'agreg interne soit raisonnable, c'est souvent des gens qui n'ont pas fait de maths depuis des années et se remettent dans le bain en bossant à côté, les conditions ne sont pas les mêmes que des étudiants qui ne font que ça et qui n'ont pas de travail à côté.
    En plus parfois, avec la fatigue du travail, on perd en motivation. 
  • Mais oui c'est ça : fin d'année ! Courage OShine, au pire : dis toi tu vas repartir à fond après les échéances de fin d'année : quand les conseils de classe et le brevet seront passés ! ;):)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B11.
    Reprenons de B9. $\forall t \in \mathbb{R}$, $e^{ta}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i}$. On passe à la norme :
    $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} |||q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i|||_{\mathcal{C}}  }$
    Reprenons B5. $\exists C_i$, $\forall u \in \mathcal{L}(E_i)$,  $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq C_i.|||u|||_i$. On applique cela à $e^{t.a_i}$ :
    $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C_i.|||e^{t.a_i}|||_i }$
    Et là on a besoin de B10.
    $\forall i \in \{1,...,r\}$, $\forall t \in \mathbb{R}$, $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C_i. |e^{t.\lambda_i}|
    \displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k} }$
    Là pour réduire la somme on a besoin de poser des max : $C=max(C_i)$ et idem pour un max des  $|||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i$, $D=max(|||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i)$.
    Alors $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C. |e^{t.\lambda_i}|.\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. D^k }$ = $\displaystyle{ C. \sum_{i=1}^{i=r} |e^{t.\lambda_i}|.P(|t|) }$ avec $P(t)=\sum_{i=1}^{i=r} \frac{D^k}{k!}. t^k$
    Il reste à faire le lien entre $|e^{t.\lambda_i}|$ et $e^{t.Re(\lambda_i)}$ qui ne saute pas à la figure ... A faire demain !
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    B6. On demande de montrer qu'un sous-espace caractéristique d'un endomorphisme est stable par $a$.
    $\forall i \in [[1,r]],\ E_i=\ker((a-\lambda_i.Id)^{m_i})$ sont ces sous-espaces caractéristiques, avec $m_i$ entier non nul.
    Soit $x \in E_i, \ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$. Ce qui donne : $a \circ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=a(0)=0$. Donc $a(E_i) \in E_i$.
    Donc $\boxed{a(E_i) \in E_i}$
    @NicoLeProf  comment peux tu trouver  quelque chose de correct là dedans ?  Mettre des symboles  $\in$  à la place de $\subset,$ c'est certes troublant.   Mais à aucun moment, l'essentiel est écrit : C'est-à-dire  que pour $x\in N((a-\lambda_i.Id)^{m_i}) $  on a   $ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(a(x))=0. $ 
    Il n'y a pas  de raisonnement dans la rédaction. Ce n'est pas pas de la mauvaise rédaction, c'est du non-raisonnement. Dire qu'il suffit d'améliorer la rédaction c'est presque faire croire qu'il a bien raisonné mais que cela a été mal dit.
    Cela manque de sérieux tout ça. 
    Edit.  Je suis heureux de voir que je ne suis pas le seul à voir beaucoup de similitude entre  @avaleurdannales et @Oshine
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Cher ami, j'ai corrigé. Tu remarqueras que j'écris beaucoup et notamment en Latex ça use. La rédaction était insuffisante, c'est validé par @NicoLeProf. J'avance sur la question B11. Je cogite !
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Oui je viens de voir.  Mais quand j'avais dis que c'était archi-faux c'était le cas.
    Maintenant je peux dire que la démonstration est là (à peu près) mais c'est archi mal rédigé parce qu'il faut faire beaucoup d'effort pour l'accepter. 
    Parce que il y a peu de logique dans ce que tu écris.  
    En effet tu montres que pour $y\in a(E_i)$    il existe $x\in E_i$  tel que $y=a(x)$    et alors  $y\in a(E_i).$  c'est vraiment alambiqué. 
    Mais ce n'est pas aussi clair que cela   pour tout $x\in E_i$  on a   $a(x) \in E_i.$ 
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Je ne me trouve pas beaucoup de similitudes avec @OShine dans la résolution de problèmes. Quelles sont ces similitudes d'après toi ?
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    gebrane a dit :
    Je crois qu'il me faut quelqu'un comme toi pour m'accompagner dans ce forum. Les autres, bd, Jlapin et Raoul, sont devenus de véritables acrobates. Ils font des  maths: un sport de haut niveau, des hautes voltiges
    @gebrane tu est un plaisantin et  tu me fais rire. Je ne crois pas une minute ce que tu dis. Tu sais très bien  qu'il faut des gens comme nous pour avancer. Et puis ton niveau est excellent !
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    J'en suis à la moitié du problème, j'ai dû passer 3h facile.
  • Oui tu as raison bd, c'était vraiment faux et MangeurAnnales a rectifié, tant mieux ! J'ai été une fois de plus, trop bienveillant et trop indulgent haha ! :D:*
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    B8 et  B9 sont faux. Je crois que @JLapin en a fait la remarque mais tu n'en tiens pas compte.
    B10 contient au moins un passage non justifié.
    B11 n'est pas terminé mais là où tu es arrivé ce n'est pas correct. 

    Edit: Je sais que dire régulièrement  "ce n'est pas correct"  je vais passer pour has-been, ce  n'est plus à la mode. A notre époque, il faut voir ce qui est positif dans le négatif.  
    Alors essaye de travailler avec @Gebrane qui voudrait collaborer  avec toi. Il a certes un niveau bien plus élevé que le tien. Mais s'il trouve un intérêt de travailler avec toi, inversement tu auras l'avantage de profiter de ses connaissances. Il te prendra de moins haut et sera plus condescendant.
     
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @Nicleprof Ok on est d'accord. 
    Maintenant je trouve que @devoreurdannales devrait avancer moins vite et faire les questions correctement avant de passer à la suite. Je n'ai pas lu le sujet, mais il accumule les fautes sans les corriger, donc de la non-compréhension. Je  me demande s'il peut aller au bout du sujet en continuant ainsi.
     
  • bd, j'ai changé d'avis en le lisant dire j'ai dû passer 3h facile.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    M.D.R
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Alors je vais reprendre à partir de B8. Après je ne force personne à relire. Si certains sont agacés et je le comprends, ne cherchez plus à m'aider.
    Je me rends compte que certains sont des professeurs ici et ce sont ceux qui expliquent le mieux. C'est bien de travailler avec eux. Mais je n'ai pas ce que je veux dans l'idéal, c'est de résoudre les questions et de mettre en commun. Dommage que personne n'ait vraiment envie de chercher ces problèmes. Je suis déçu que OShine ait abandonné si vite. J'aime bien son style.
    Personnellement cela m'entretient le cerveau.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B8.
    Je refais, je vois ce que veut dire @JLapin ce n'était pas très clair son histoire de projecteurs orthogonaux, mais bon, les projections $p_i$ sont sur l'espace $E_i$ parallèlement à la somme directe des $E_j$ avec $j \neq i$.
    On a l'information $a_i= p_i \circ a \circ q_i$
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$, et $x_i \in E_i$, on utilise la question précédente $a(E_i) \subset E_i$, je vais montrer que $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$ : $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i(x)  = \sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ  p_i \circ a \circ q_i \circ p_i(x) = \sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ  p_i \circ a \circ q_i (x_i) = \sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ  p_i \circ a  (x_i)  }$
    Ici il  faut remarquer que $p_i \circ a(x_i)= a(x_i)$ grâce à B6. D'où : $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i(x)  = \sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ  a  (x_i) }  $
    De même $q_i \circ a(x_i)= a(x_i)$; $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i(x)  = \sum_{i=1}^{i=r} a  (x_i) = a(x)}  $

    Donc $\boxed{\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}}$
  • @gebrane Tu n'as encore rien changé à B.8.  C'est toujours faux. 
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 J'ai dit de ne pas lire ! Regarde la première ligne ... Je suis en train de refaire. Merci de ta rapidité.
  • Ha oui, il y a du progrès. 
     
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    B8. Je suis en train d'écrire, ne pas lire !
    Je refais, je vois ce que veut dire @JLapin ce n'était pas très clair son histoire de projecteurs orthogonaux,
    Tu me demandais mon avis sur 5, 6 et 7. Pas sur la question 8.
  • Bon  alors votre avis sur la B8. Messieurs ?
  • B9. C'est faux ? Je ne vois pas d'erreur.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B9.
    Je peux essayer de proposer autre chose 
    $e^{ta}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=+\infty} \frac{t^k.a^k}{k!}}$ pour $t \in \mathbb{R}$, ça c'est la forme dans un cours classique.
    Or ici je peux écrire :
    $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$ donne $\displaystyle{a^k=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i^k \circ p_i}$ et réinjecter dans la première somme.
    $e^{ta}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=+\infty} \frac{t^k}{k!}.\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i^k \circ p_i }$
    Pour avancer il faut inverser les sommes : (doit on justifier ? passer à une somme finie et passer à la limite ?)
    $e^{t.a}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} \sum_{k=0}^{k=+\infty} q_i \circ [\frac{t^k}{k!}a_i^k] \circ p_i } = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r}  q_i \circ (\sum_{k=0}^{k=+\infty}  [\frac{t^k}{k!}a_i^k]) \circ p_i } = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i }$

    Précédemment j'avais écris ceci :
    $e^{ta}=\displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i} }$
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$, $e^{ta}(x)=\displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i }(x) }$
    $||e^{ta}(x)|| \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} ||q_i \circ a_i \circ p_i || }||x|| }$ donne $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||q_i \circ a_i \circ p_i |||_{\mathcal{C}} }} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||a_i|||_i } }$ c'est une somme finie majorée d'où la convergence de cette série.
    Il reste à montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}$, $\forall i \in [[1,r]]$, $\displaystyle{e^{t. q_i \circ a_i \circ p_i } =  q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i }$
    Partons de $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, alors
    $\displaystyle{P(a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(a_i) \circ p_i}$ grâce à la structure d'algèbre des polynômes.
    Puis $\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{P(t \times a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(t \times a_i) \circ p_i}$
    Puis $e^{ta}$ ayant une expression polynomiale, le tour est joué, en prenant par contre l'écriture générique de l'exponentielle de matrice que je mentionne au départ.

    Donc $\boxed{\forall t \in \mathbb{R}, \displaystyle{ e^{t.a}=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ e^{t. a_i} \circ p_i}}$


  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Je préfère ma 2ème méthode qui justifie la convergence de la série. Ici je trouve qu'on est dans un cas de série formelle, c'est à se demander s'il y a une attente sur la convergence de la série. Enoncé très libre !
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B10.
    La chose mal faite est la non utilisation de la propriété multiplicative de la norme triple.
    Si je veux une rédaction impeccable :
    $e^{t.a_i}=e^{t.\lambda_i.Id}.e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}$ donne en passant à la norme triple :smile: 
    $|||e^{t.a_i}|||_i \leq |||e^{t.\lambda_i.Id}|||_i.|||e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}|||_i$
    D'abord il faut montrer que $|||e^{t.\lambda_i.Id}|||_i=|e^{t.\lambda_i}|$
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$,$e^{t.\lambda_i.Id}(x)=\sum_{k=1}^{k=n} e^{t.\lambda_k}.x_k$ alors $|||e^{t.\lambda_i.Id}|||_i=|e^{t.\lambda_i}|$.
    Puis  $|||e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}|||_i=\displaystyle{||| \sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{t^k}{k!}. (a_i-\lambda_i.Id)^k |||_i }$
    $|||e^{t.(a_i-\lambda_i.Id)}|||_i \leq \displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k}$
    On a montré $\boxed{\forall i \in \{1,...,r\}, \forall t \in \mathbb{R}, |||e^{t.a_i}|||_i \leq |e^{t.\lambda_i}|.\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k}}$
    Bon ?
  • gebrane a dit :
    bd, j'ai changé d'avis en le lisant dire j'ai dû passer 3h facile.
    C'est quoi le problème ? Tu es peut-être fort en mathématiques mais ton expression écrite me laisse perplexe.

  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    bd2017 a dit :
    @gebrane Tu n'as encore rien changé à B.8.  C'est toujours faux. 
    Pourquoi c'est faux ? Je ne vois pas de fautes
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • @bd2017 Je veux bien lire que c'est faux. Mais j'ai refait des choses. Dire que c'est faux ne m'apporte rien. Qu'est-ce qui est faux ? Pédagogiquement ton apport est nul. Je suis désolé d'être brutal ...
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B11.
    A ton tour chère question 11 !
    Déjà je commence par : $|e^{t.\lambda_i}|$ et $e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}$ : quel est le lien ?
    $e^{t.\lambda_i}=e^{t.(\mathfrak{Re}(\lambda_i)+i.\mathfrak{Im}(\lambda_i))}=e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} \times e^{t.i.\mathfrak{Im}(\lambda_i)}$
    Donc $|e^{t.\lambda_i}|=|e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}| \times |e^{t.i.\mathfrak{Im}(\lambda_i)}| = |e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}| \times 1 = e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}$. Donc c'est la même chose ... Mon cours de Terminale est loin ! Ha ha elles sont risibles ces 2 lignes !

    $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} |||q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i|||_{\mathcal{C}}  }$
    Reprenons B5. $\exists C_i$, $\forall u \in \mathcal{L}(E_i)$,  $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq C_i.|||u|||_i$.
    On applique cela à $e^{t.a_i}$ : $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C_i.|||e^{t.a_i}|||_i }$
    Et là on a besoin de B10.
    $\forall i \in \{1,...,r\}$, $\forall t \in \mathbb{R}$, $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C_i. |e^{t.\lambda_i}|
    \displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. |||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i^k} }$
    Là pour réduire la somme on a besoin de poser des max : $C=max(C_i)$ et idem pour un max des  $|||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i$, $D=max(|||(a_i-\lambda_i.Id)|||_i)$.
    Alors $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} C. |e^{t.\lambda_i}|.\sum_{k=0}^{k=m_i-1} \frac{|t|^k}{k!}. D^k }$ = $\displaystyle{ C. \sum_{i=1}^{i=r} |e^{t.\lambda_i}|.P(|t|) }$ avec $P(t)=\sum_{i=1}^{i=r} \frac{D^k}{k!}. t^k$
    Ici je modifie la définition du polynôme pour inclure la constante $C \neq 0$, $P(t)=C.\sum_{i=1}^{i=r} \frac{D^k}{k!}. t^k$
    $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{  \sum_{i=1}^{i=r} |e^{t.\lambda_i}|.P(|t|) = P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$
    On a montré $\boxed{ \forall t \in \mathbb{R}, |||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}}$
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B12.
    Tiens on représente une matrice réelle dans $\mathbb{R}^n$ puis $\mathbb{C}^n$. Je ne vois pas l'intérêt de la représentation dans les complexes si la matrice est réelle. Mystère on verra son utilité sans doute.
    @bd2017 J'avance dans le problème. Je corrigerai les réponses au fur et à mesure que l'on me corrige.
    $\forall t \in \mathbb{R}, |||e^{t.u_A}|||_{\mathcal{r}}=?$
    Je réfléchis aux valeurs propres. A-t-on un impact sur ce calcul qu'elles soient dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ? Les questions précédentes sont dans l'espace des complexes. J'ai besoin de réfléchir ...
    Car pour $v_a$ le travail de la norme triple a déjà été fait précédemment pour son calcul.
    J'ai envie de repartir de la définition des normes triples :
    $|||u_A|||_{\mathcal{r}}=sup_{x \in \mathbb{R}} \{ \frac{||u_A(x)||}{||x||} \}$ et $|||v_A|||_{\mathcal{C}}=sup_{x \in \mathbb{C}} \{ \frac{||v_A(x)||}{||x||} \}$
    Vu que $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ alors $|||u_A|||_{\mathcal{r}} \leq |||v_A|||_{\mathcal{C}}$. Puis on passe à l'exponentielle.
    Alors $e^{t.|||u_A|||_{\mathcal{r}} } \leq e^{t.|||v_A|||_{\mathcal{C}} }$. Quand cela semble simple j'ai souvent faux ...
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Je veux bien lire que c'est faux. Mais j'ai refait des choses. Dire que c'est faux ne m'apporte rien. Qu'est-ce qui est faux ? Pédagogiquement ton apport est nul. Je suis désolé d'être brutal ...
    Faut pas tricher!   D'abord depuis le début j'ai fait (et d'autres aussi) des remarques pour annoncer que  c'était  faux (mais grossièrement faux! ) . Tu as continué comme si de rien n'était. Concernant B.8 tu as refait les même erreurs, c'est-à-dire que tu as écris comme quelqu'un qui ne comprend rien aux math.  Mais entre  deux tu  corriges et   ça devient très correct. Alors ne me reproche de dire que c'est faux sans explication alors que tu as changé le texte entre temps.
    Maintenant il y a un progrès énorme entre la première version de B.8 et la seconde. Tout se passe comme si il y a 2 personnes différentes. C'est étonnant.
     
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    B10.
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$,$e^{t.\lambda_i.Id}(x)=\sum_{k=1}^{k=n} e^{t.\lambda_k}.x_k$ alors $|||e^{t.\lambda_i.Id}|||_i=|e^{t.\lambda_i}|$.
    C'est faux!  Où sont passés les $\lambda_k , k\neq  i$
    B12.
    Vu que $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ alors $|||u_A|||_{\mathcal{r}} \leq |||v_A|||_{\mathcal{C}}$. Puis on passe à l'exponentielle.
    Alors $e^{t.|||u_A|||_{\mathcal{r}} } \leq e^{t.|||v_A|||_{\mathcal{C}} }$. Quand cela semble simple j'ai souvent faux ...
    Qu'est-ce qui te permet de passer à l'exponentielle ?  Il faut justifier alors.
    Et ci-dessous l'éctiture est fausse !
    $|||u_A|||_{\mathcal{r}}=sup_{x \in \mathbb{R}} \{ \frac{||u_A(x)||}{||x||} \}$ et $|||v_A|||_{\mathcal{C}}=sup_{x \in \mathbb{C}} \{ \frac{||v_A(x)||}{||x||} \}$
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    bd2017
    Pour la première remarque. La norme triple $|||.|||_i$ prend en compte $x \in E_i$ donc $x$ est projeté sur $E_i$ donc les $\lambda_k=0$.
    Pour la deuxième remarque. C'est en passant par l'inclusion des ensembles :
    $\{  x \in \mathbb{R}\mid \frac{||u_A(x)||}{||x||} \}  \subset \{  x \in \mathbb{C}\mid  \frac{||v_A(x)||}{||x||} \} $ puis
    $\{  x \in \mathbb{R}\mid  \frac{e^{t.||u_A(x)}||}{||x||} \}  \subset \{  x \in \mathbb{C}\mid \frac{e^{t.||v_A(x)||}}{||x||} \} $
    En passant au $\sup$ : $e^{t.|||u_A|||_{\mathcal{r}} } \leq e^{t.|||v_A|||_{\mathcal{C}} }$.

    [EDIT : $||| e^{t.u_A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.v_A}|||_{\mathcal{C}}$ ] est le résultat voulu, qui remplace ma dernière ligne provient de
    $\{  x \in \mathbb{R}\mid  \frac{||e^{t.u_A(x)}||}{||x||} \}  \subset \{  x \in \mathbb{C}\mid \frac{||e^{t.v_A(x)}||}{||x||} \} $
    [Inutile de recopier le message précédent. AD]








  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Aucune de tes réponses n'est convenable!  Tu continues comme depuis le début à écrire et justifier de façon très vague.  Tu ne corriges rien.
    Ta  première réponse est incorrigible. Tu racontes n'importe quoi.
    Ensuite tu ne corriges même pas l'écriture:   $\{  x \in \mathbb{R}\mid \dfrac{||u_A(x)||}{||x||} \} $
    Et enfin, ta dernière ligne, mis à part ta justification bidon, tu écris $e^{t|||a|||_r} \leq  e^{t|||a|||_C}$ ce qui ne correspond même pas à la question posée.
    À croire que tu ne sais pas lire.
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Je ne vois pas ce qui est faux en utilisant des inclusions d'ensembles. J'ai fait un EDIT sur le message car mes barres étaient mal placées, j'ai du écrire à 1H00 du mat ... Cela ne change rien au raisonnement.
    Je vais essayer autrement. En n'utilisant pas les ensembles, en revenant aux idées des questions 2 et 3.
    $\forall  x \in \mathbb{R}, ||u_A(x)||=||Ax|| \leq  |||u_A|||_{\mathcal{r}}.||x||$
    $\forall  x \in \mathbb{C}, ||v_A(x)||=||Ax|| \leq  |||v_A|||_{\mathcal{C}}.||x||$
    Et qu'est-ce qu'on peut dire après ? Que les ensembles images sont tels que $\{ ||Ax|| , x \in \mathbb{R} \} \subset \{  ||Ax|| , x \in \mathbb{C} \}$
    Et on retombe sur ce que j'ai fait avant ... et alors $|||u_A|||_{\mathcal{r}} \leq |||v_A|||_{\mathcal{C}}$.
    Si tu n'es pas d'accord écrit ta solution que je comprenne ! Car pour moi ce que j'ai écrit est limpide comme de l'eau de roche.

    J'en viens même à me demander si tu maîtrises bien les inclusions d'ensembles ...








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