Sujet CCMP - Maths 1 - 2023

MangeurAnnales
Modifié (May 2023) dans Analyse
Bonjour,
je voudrais traiter le sujet avec vous.
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Réponses

  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Le sujet ici.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A1.
    Déjà pour traiter la question il faut que $u$ soit continue. Peut-on dire que sur un sous-espace de $\mathcal{K}^n$ de dimension finie les fonctions linéaires sont continues ? Je dirai oui.
    D'abord pour montrer l'existence de $\displaystyle{sup_{x \in E-0} \frac{||u(x)||}{||x||} }$ avec $x$ est non nul.
    On écrit que $u$ continue $E$ en particulier en $0_E$. $\forall \epsilon > 0, \exists \alpha > 0, ||x||<\alpha \Rightarrow ||u(x)||<\epsilon$.
    Maintenant je passe à un vecteur sur la boule unité $y=\frac{x}{||x||}$ tq $||y||=1$. Alors $||y||<1 \Rightarrow ||u(y)||<\epsilon$ et $||u(\frac{x}{||x||})||<\epsilon$. Ainsi $||u(x)||<\epsilon.||x||$. Alors $\frac{x}{||x||}<\epsilon$. Donc $\sup(\frac{x}{||x||})$ existe comme ensemble admettant un majorant. Le sup est le plus petit majorant de l'ensemble $\{ \frac{x}{||x||} , x \in E-0 \}$
    Ensuite si $B$ est la boule unité et $S$ la sphère unité, $\frac{||u(x)||}{||x||}=|| u(\frac{x}{||x||})||$ donne $\displaystyle{sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) =  sup_{||x||=1} (||u(x)||) =  \sup_{x \in S} (||u(x)||)}$.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A2.
    On écrit la norme triple $|||u|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})$. Les 3 axiomes de la norme à vérifier :
    $\bullet$ axiome de séparation : $|||u|||=0 \Rightarrow x=0$
    Soit $x \in E-0$, alors $||u(x)||=0$ puis $u(x)=0$ donc $x=0$.
    $\bullet$ axiome d'homogénéité :
    Soit $\lambda>0$, $\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(\lambda.x)||}{||\lambda.x||})=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})$.
    $\bullet$ inégalité triangulaire :
    Soit u,v 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u+v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||(u+v)(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}+\frac{||v(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) + \sup_{x \in E-0} (\frac{||v(x)||}{||x||}) = |||u|||+|||v|||$.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A3.
    On veut montrer qu'on a une norme d'algèbre
    Soit $u,v$ 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u.v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||uv(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||})$
    C'est pénible car on n'a pas les vecteurs qui apparaissent comme dans une définition, $N(x.y)<N(x).N(y)$. Je pense que ici il faut utiliser $\displaystyle{sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) =  \sup_{||x||=1} (||u(x)||) = \sup_{||x|| \leq 1} (||u(x)||) }$
    La dernière égalité n'étant pas une question de l'énoncé mais j'ai pensé à cela !
    Et du coup $\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||.||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})\sup_{x \in E-0} (\frac{||v(x)||}{||x||}) \leq |||u|||. |||v|||$
    Ensuite par une récurrence immédiate $|||u^k||| \leq |||u|||^k$.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B4.
    C'est une conséquence du lemme des noyaux.
    Ça commence avec $a$ est trigonalisable dans $\mathbb{C}$ car son polynôme caractéristique est scindé dans un corps algébriquement clos... La suite un autre jour.
  • A3. n'est pas correct.
     
  • Quel est le sens de $u.v(x)$ ? L'écriture est douteuse. C'est bien un problème de concours.
  • Où vois-tu du $u.v(x)$ dans l'énoncé ?
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Écrire $|||u.v|||$. Quel est ce produit et comment se traduit-il dans l'écriture $\sup(\dots)$. D'où ma question précédente.
  • Dans l'énoncé, il y a $||| uv\|||$ et $uv$ est un raccourci très usuel pour $u\circ v$.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A3. Bien, alors on peut partir de : Soit $u,v$ 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u \circ v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u \circ v(x)||}{||x||})$ ?
    Si $u$ est linéaire et continue alors $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||u||.||x||$ en notant $||u||=\displaystyle{\sup_{x \in E-0} \frac{||u(x)||}{||x||} }$
    posons $y=v(x)$. De $||u(y)|| \leq ||u||.||y||$ et  $||v(x)|| \leq ||v||.||x||$, $||u \circ v(x)|| \leq ||u||. ||v||.||x||$. Or $||v(x)|| \leq k.||x||$ donne que $||v|| \leq k$ avec $k$ réel. Ainsi $||u \circ v || \leq ||u||. ||v||$.
    Donc $|||u \circ v ||| \leq |||u|||. |||v|||$.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    C'est tout de même pas très net à lire. Comme par exemple,  l'usage des doubles barres et triples barres. Il y a une distinction à faire ?   Que fait-on des notations de l'énoncé ?
    Pourquoi dire  à chaque fois  "si $u$  est linéaire et continue." 
    Les hypothèses sont $u,v\in L(E)$ et avec les notations et la définition de l'énoncé on a $ ||u (x) || \leq ||| u|||. ||x||, \ \forall x\in E.$
     
  • @bd2017 Tu as raison j'aurai du mettre des triples barres par endroit. La notation de la triple barre me déplaisait du coup j'ai utilisé les doubles barres de l'énoncé mais le mélange des 2 normes s'impose en effet.
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    Je ferais pareil à ta place pour une rédaction sur le forum : il est pénible d'écrire les trois barres et on voit bien de quoi on parle à chaque fois.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A3.
    Je reprends la question. Il y a 2 résultats majeurs pour résoudre la question.
    i) Si $u$ est linéaire alors $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||u||.||x||$ en utilisant la norme triple $|||u|||=\displaystyle{\sup_{x \in E-0} \frac{||u(x)||}{||x||} }$, j'ai immédiatement $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq |||u|||.||x||$
    ii) Soit $k$ un réel. $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq k.||x||$ donne que $|||u||| \leq k$. (car la norme triple est le plus petit des majorants)
    Maintenant,  $\forall x \in E$, posons $y=v(x)$. De $||u(y)|| \leq |||u|||.||y||$ et  $||v(x)|| \leq |||v|||.||x||$, $||u \circ v(x)|| \leq |||u|||. |||v|||.||x||$.
    Ainsi $\boxed{ |||u \circ v ||| \leq |||u|||. |||v|||}$






  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A4.
    D'abord le polynôme caractéristique de $a$ s'écrit sous la forme $\mathcal{P}(X)=\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r} (X-\lambda_k)^{\alpha_k}}$ $\forall X \in \mathbb{C}$ avec $\lambda_k$ étant les valeurs propres distinctes de $a$ et $\alpha_k$ la multiplicité associée. On a $\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=r} \alpha_k=n }$. Le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$.
    Ensuite on applique le lemme des noyaux : les polynômes $(X-\lambda_k)^{\alpha_k}$ sont premiers entre eux. On a donc puisque
    $\mathcal{P}(a)=0$ : $\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} \ker((a-\lambda_k.Id)^{\alpha_k})}$. Si on note $E_i=\ker((a-\lambda_i.Id)^{\alpha_i})$, on l'appelle espace caractéristique de $a$.
    Ainsi $\boxed{\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} E_k}}$.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B5.
    Partons de la définition de la norme triple $\forall u \in \mathcal{L}(E_i)$, $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}= \displaystyle{\sup_{x \in E-0} \frac{||q_i \circ u \circ p_i(x)||}{||x||} }$
    [$||q_i \circ u \circ p_i(x)|| \leq  |||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$] -> ne sert pas.
    Directement $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq |||q_i|||_i.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$.
    Donc $C_i= |||q_i|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$. Cela me semble trop simple ...

    EDIT : cette question a été refaite, ce paragraphe est mauvais. Très mauvais.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    La propriété $||| u v||| \leq |||u ||| . ||| v|||$  établie précédemment fait intervenir la même norme.
    Par contre la propriété que tu utilises met en jeu deux normes différentes. la norme  $||| . |||_C$  et la norme $||| . |||_i $  Donc tes inégalités ne sont pas justifiées.
     
  • @bd2017 C'est bien ce que je pensais. Il faut différencier selon les normes.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Il n'y rien de compliqué, il suffit de réfléchir à ce qu'on écrit.
     Voici la solution $p_i$  est une projection. Donc  $||p_i(x)||\leq ||x||, \forall x\in \C^n.$  (on même mieux  $|||p_i|||_C=1$ )
    Soit $u\in L(E_i).$  On a $\forall  x\in\C^n:    ||q_i u p_i(x)||= || u p_i(x)||\leq ||| u|||_i ||p_i(x)|| \leq  ||| u|||_i ||x||. $ 
    D'où  $ |||q_i u p_i |||_C \leq  |||u|||_i. $ 



     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    A5. Je vais écrire une chaîne d'opérations :smile:
    $x \in \mathbb{C}^n \mapsto_{}^{p_i} x_i \mapsto_{}^{u} u(x_i) \mapsto_{}^{q_i} q_i(u(x_i))$
    Il faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées. Donc $\forall  x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$.  Alors $||p_i(x)||_{\mathcal{C}}\leq||x_i||_{\mathcal{C}}$. On a $|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
    Le prochain enchaînement : $||u(x_i)||_i \leq |||u|||_i.||x_i||_i$.
    Enfin le dernier enchaînement : $||q_i \circ u(x_i)||_{\mathcal{C}}$ ... Je réfléchis et je complète ... Je note $y=u \circ p_i(x)$, $||q_i(y)||_{\mathcal{C}}\leq  |||q_i|||.||y||_{\mathcal{C}}$. Le problème ici est que j'ai deux normes différentes pour enchaîner. Une subtilité m'échappe. A moins que $||q_i(x)||_{\mathcal{C}}=||q_i(x)||_i$ ? Cela me semble faux. Je vais chercher. $q_i$ est la fonction identité donc $|||q_i|||_i=1$
    Du coup $||q_i \circ u \circ p_i(x)||_{\mathcal{C}} = || u \circ p_i(x)||_i$. Je ne suis pas sûr. Je n"ai pas d'autres idées.



























  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Je ne vois pas ce que ton message viens faire ici. J'ai donné la solution. Soit tu es d'accord ou pas.
    Mais qu'est ce que tu fabriques ici?  Sinon que d'écrire un peu le  même que j'ai fait,  avec quelques ressemblances, mais surtout des fautes d'écriture, car tu utilises des notations non définies dans l'énoncé.
    Par exemple,  pour un élément  $u\in L(E_i ),  ||| \, . \,     |||_i$  a un sens (car défini dans l'énoncé)  Mais pour un élément quelconque  $x\in E_i \subset C ^n $
    ( la seule norme de l'énoncé  est $|| x ||$   )  .  Donc si tu écris $ || x || _i $ cela veut dire quoi?
    C'est une nouvelle norme? En tout cas cela ne sert à rien.   
    De même pour un vecteur $|| \, .  ||_C$  n'a pas été introduit! L'ajout de l'indice $C$  pourquoi? Non vraiment défini et surcharge inutile de notation.  
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Je regarde scrupuleusement le passage d'une norme à une autre pour bien comprendre. Je me pose aussi la question d'une relation possible entre les 2 normes $C$ et $i$. Je me rends compte que minorer $N_1(u(x)) \leq N_2(u).N_3(x)$ est possible. C'est sur cela que j'ai faux car dans mon cours; on ne fait pas de différence de normes : $N_1=N_2=N_3$. C'est pour cela que c'est confus pour moi. Je vais donc tout reprendre.
    Cf mon message précédent :
    B5.
    $x \in \mathbb{C}^n \mapsto_{}^{p_i} x_i \mapsto_{}^{u} u(x_i) \mapsto_{}^{q_i} q_i(u(x_i))$
    $\bullet$ Il faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées. Donc $\forall  x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$.  Alors $||p_i(x)|| \leq||x_i||$. On a $|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
    $\bullet$ Le prochain enchaînement : $||u(x_i)|| \leq |||u|||_i.||x_i||$.
    $\bullet$ Enfin le dernier enchaînement : $||q_i \circ u(x_i)||$. Je note $y=u \circ p_i(x)$, $||q_i(y)|| \leq  |||q_i|||_{\mathcal{C}}.||y||$.
    $q_i$ est la fonction identité donc $|||q_i|||_{\mathcal{C}}=1$
    Du coup $||q_i \circ u \circ p_i(x)|| = ||q_i(y)|| \leq  |||q_i|||_{\mathcal{C}}.||y|| = ||y||$. Ici $||y||=||u \circ p_i(x)|| \leq |||u|||_i.||x_i|| = |||u|||_i.||p_i(x)|| \leq |||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$
    Au final : $||q_i \circ u \circ p_i(x)|| \leq |||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$ en ignorant que certaines normes triples égales à 1.
    Donc $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq |||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$
    On a trouvé $\boxed{C_i=|||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1}$

    Là j'ai l'impression que c'est nickel. Merci @bd2017. Je suis comme @OShine, je ne veux que du top en terme de rédaction.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    Non seulement tu ne tiens pas compte de ce que je dis, mais ça tourne en charabia ou à un dialogue de sourd  avec tes $N_1, N_2, N_3.$
    J'ai le regret de te dire que le top c'est ce que j'avais écrit. Et tu fais bien du @Oshine : tu ajoutes   de la longueur inutile avec en plus   des fautes de notations. En particulier l'encadré n'a pas de sens.
    Je me demande si  tu n'est pas @Oshine ou son frère jumeau.
     
  • @bd2017 Je pense au final qu'on trouve la même chose. Ce qui était important ici est d'interpréter $p_i$ et $q_i$ en terme d'endomorphisme : projection et identité.
  • Oshine = MangeurAnnales
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Non, pas du tout le même style d'écriture. Chez @OShine, ça commence souvent par : 'Je ne comprends pas ...' ou quelque chose de ce genre. Avec des copies de livre en rouge encadrées ce que je ne fais pas. Et je ne suis pas @OShine. Merci !
    En fait il y a une forme d'intolérance avec les gens qui ont du mal à trouver réponse à une question.
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 Je pense au final qu'on trouve la même chose.
    Tu plaisantes ou quoi? Cela ne sert à rien d'écrire 10 lignes. Ce n'est pas top.
    Mais surtout $|||q_i|||_C$  n'a pas de sens.  Tu l'encadres en plus.
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B6. On demande de montrer qu'un sous-espace caractéristique d'un endomorphisme est stable par $a$.
    $\forall i \in [[1,r]],\ E_i=\ker((a-\lambda_i.Id)^{m_i})$ sont ces sous-espaces caractéristiques, avec $m_i$ entier non nul.
    Soit $x \in E_i, \ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$. Ce qui donne : $a \circ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=a(0)=0$. Donc $a(E_i) \in E_i$.
    Donc $\boxed{a(E_i) \in E_i}$
  • bd2017
    Modifié (May 2023)
    $\bullet$ Il faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées. Donc $\forall  x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$.  Alors $||p_i(x)|| \leq||x_i||$. On a $|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
    Déjà, en commençant à te lire, c'était indigeste.   En effet le début n'est pas faux mais le lien avec la conclusion   $|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$  n'est pas correct. Où est la relation de cause à effet ?
     On ne peut pas se vanter d'avoir fait une rédaction au top alors que les mathématiques ne sont pas bonnes. Pour bien rédiger, il faut avant tout raisonner correctement. 
    6.  Archi faux. Bon je me tire. Tu ne tiens pas compte des remarques.    
    Tu trouveras des personnes plus tolérantes, qui  trouveront qu'écrire n'importe quoi c'est déjà pas mal.  
     
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    Pour la question 5, je relirai plus tard.
    Pour la question 6, je ne vois pas ce qui est faux.
    Je ne veux pas me disputer avec les autres forumeurs.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B7.
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$, $q_j(x)$ ne semble pas défini si on ne prend pas comme vecteur de départ $x_j$.
    Donc on considère l'image de $x_j$ : $q_j(x_j)=x_j$ puis $p_i(x_j)=x_i=0$. Erreur d'énoncé ? si on considère  $p_j \circ q_j$ en fait on n'a rien fait.
    Donc $\boxed{p_j \circ q_j=Id_{E_j}}$ et si $i \neq j$ alors $\boxed{p_i \circ q_j=0}$.
    J'ai un gros doute. A quoi sert $q_i$ ? C'est une injection.
    Ensuite pour $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i}$, on a : $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i(x)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i(x_i)=\sum_{i=1}^{i=r} x_i}=x$. Donc $\boxed{\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i} = Id_{ \mathbb{C}^n} }$

  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    8.
    Les définitions des endomorphismes sont  : $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$ (à justifier) et $a_i= p_i \circ a \circ q_i$(ce qui est donné)
    $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i \circ a \circ q_i \circ p_i}$ est à évaluer.
    $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i \circ a \circ q_i \circ p_i} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i ( a \circ q_i \circ p_i)} =\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} Id_{ \mathbb{C}^n} ( a \circ q_i \circ p_i)} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} a (q_i \circ p_i)} =  \displaystyle{a (\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i))} = a(Id_{ \mathbb{C}^n})=a$
    Donc $\boxed{\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}}$
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B9.
    Déjà il faut justifier l'existence de l"exponentielle de matrice :
    $e^{ta}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=+\infty} \frac{t^k.a^k}{k!}}$ pour $t \in \mathbb{R}$, ça c'est la forme dans un cours classique, mais ici
    Ici on a une écriture particulière de $a$ sous forme de somme finie.
    $e^{ta}=\displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i} }$
    Soit $x \in \mathbb{C}^n$, $e^{ta}(x)=\displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i }(x) }$
    $||e^{ta}(x)|| \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} ||q_i \circ a_i \circ p_i || }||x|| }$ donne $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||q_i \circ a_i \circ p_i |||_{\mathcal{C}} }} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||a_i|||_i } }$ c'est une somme finie majorée d'où la convergence de cette série.
    Il reste à montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}$, $\forall i \in [[1,r]]$, $\displaystyle{e^{t. q_i \circ a_i \circ p_i } =  q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i }$
    Partons de $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, alors
    $\displaystyle{P(a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(a_i) \circ p_i}$ grâce à la structure d'algèbre des polynômes.
    Puis $\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{P(t \times a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(t \times a_i) \circ p_i}$
    Puis $e^{ta}$ ayant une expression polynomiale, le tour est joué, en prenant par contre l'écriture générique de l'exponentielle de matrice que je mentionne au départ).

    On a montré : $\boxed{e^{ta}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i} }$

    EDIT : J'ai déplacé le $x$ hors de l'exponentielle. @JLapin. En fait j'étais en train de taper, il faut que je relise encore...



  • Attention : tu ne peux pas calculer l'exponentielle d'un vecteur.
  • @JLapin Mon gentil lapin peux-tu me dire ton avis sur les réponses B5 B6 B7 ? Merci
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    Mon petit gourmand, ça manque de rigueur. Tu sembles par exemple faire comme si toutes les projections étaient des projections orthogonales.
  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    @bd2017 a dit que la question $6$ est archi fausse. Je dirais que la rédaction n'est pas terrible, qu'elle peut être améliorée, que ça manque de rigueur: il est préférable de partir de $a(E_i)$ donc de considérer $y \in a(E_i)$ . Mais archi faux, c'est fort ou alors il y a une grosse erreur que je ne vois pas? :/:#
    P.S : "mon gentil lapin" puis "Mon petit gourmand" -> j'adore !!!  :D:D<3
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je comprends pourquoi dans les prépas les élèves ont trouvé les sujets difficiles. Quand je pense que @OShine m'a dit que le niveau baisse sur ce concours j'ai du mal à le croire.
  • JLapin
    Modifié (May 2023)
    @NicoLeProf
    Avec le raisonnement de l'OP, on pourrait montrer que $E_i$ est stable par n'importe quel endomorphisme $b$ car $b(0)=0$.
    Et merci à l'OP de me parler convenablement à partir de maintenant.
  • Je ne sais pas... il n'y a que moi qui pense que MangeurAnnales est un membre du forum qui s'amuse à imiter OShine ? :mrgreen:
  • A minima un provocateur trolleur qui aime bien taper en Latex :)
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    B6.
    @NicoLeProf En fait je vais essayer de faire ta méthode. Tu me diras si cela te plaît.
    Considérons $y \in a(E_i)$. Si $x \in E_i$, alors $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$ alors on écrit $y=a(x)$. Pour moi c'est à l'envers : tu veux
    $x \in E_i$ alors $a(x) \in E_i$. Là tu pars de la conclusion.
    Une autre idée que j'ai est que $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ et $a$ commutent. Alors $E_i=Ker(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ est stable par $a$.
    En effet si 2 endomorphismes commutent le noyau de l'un est stable par l'autre endomorphisme.
    Ça tue non ?
    Mais néanmoins je ne comprends pas ta méthode. La difficulté pour moi est d'être délaissé par @OShine, je fais face seul face à cette horde de forumeurs mathématiciens en herbe.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    raoul.S a dit :
    Je ne sais pas... il n'y a que moi qui pense que MangeurAnnales est un membre du forum qui s'amuse à imiter OShine ? :mrgreen:
    Une meilleure version j'espère. En fait il a craqué au bout de 3 questions sur le sujet 2. Dommage car je veux publier avec lui les corrigés en Latex.
    J'espère avoir l'air meilleur !
  • Son style ressemble à celui du violoniste. Peux-tu stp refaire la 6 avec soin ?.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • NicoLeProf
    Modifié (May 2023)
    MangeurAnnales a dit :
    $a \circ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=a(0)=0$. Donc $a(E_i) \in E_i$.
    Ah ce que je pensais être ici un "simple raccourci" de rédaction est en fait une erreur de logique, qu'en penses-tu @JLapin? En fait, comme tu l'écris ci-dessus, telle que la preuve est formulée, on pourrait croire en effet que $E_i$ est stable par un endomorphisme $b$ quelconque, il manque a minima une mention spéciale sur $a$ et $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$.
    Et que signifie "OP" ?  :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • OP = Original Posteur
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (May 2023)
    Non, pas du tout le même style d'écriture. Chez @OShine, ça commence souvent par : 'Je ne comprends pas ...' ou quelque chose de ce genre. Avec des copies de livre en rouge encadrées ce que je ne fais pas
    Pour quelqu'un qui est inscrit depuis même pas une semaine sur le forum, tu as l'air 'achement bien au courant de comment OShine écrit ici.
  • MangeurAnnales
    Modifié (May 2023)
    gebrane a dit :
    Son style ressemble à celui du violoniste. Peux-tu stp refaire la 6 avec soin ?.
    J'ai proposé une autre méthode plus haut avec les endomorphismes commutants.
    Concernant @LeVioloniste (il) est plutôt intéressé par les probas/stats de ce que je lis, et c'est un agrégé donc il ne s'amuserait pas à faire ce genre de classique de prépas. Et il n'encadre pas ses réponses non plus. Et il a l'air plus virulent parfois. Moi je suis plus piss&love.
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