Maximum du module d'une fonction polynomiale

mike2

Bonsoir à tous,
On a vu que le maximum du module d'une fonction polynomiale complexe sur le disque de centre 0 et de rayon 1 est égal au maximum du module de cette même fonction sur le cercle (de centre 0 et de rayon 1).
Ainsi le maximum sur le disque est atteint en un point du cercle. 
Alors ma question est :

est- il possible que ce même maximum soit aussi atteint en un point du disque OUVERT (de centre 0 et de rayon 1) ? 

Qu'en pensez-vous ? 
Merci d'avance.
Mickael

Math Coss

Non, sauf si le polynôme est constant. Au voisinage d'un point $z_0$ on a $P(z)=P(z_0)+a(z-z_0)^k+o(z-z_0)^k$ pour $a\ne0$ et $k\ge1$ convenables. En choisissant convenablement $z$ (assez proche de $z_0$ pour être dans le disque), on peut s'arranger pour que l'argument de $a(z-z_0)^k$ soit égal à un argument $\theta$ de $P(z_0)$ (resp. à $\theta+\pi$) et alors $|P(z)|>|P(z_0)|$ (resp. $|P(z)|<|P(z_0)|$).

NB : ce genre de considérations permet de montrer que $\C$ est algébriquement clos (considérer le maximum de $1/P$ ou quelque chose du genre).

PS : je précise. Si $\alpha$ est un argument de $a$, on prend pour $t$ réel positif assez petit $\gamma(t)=z_0+t\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\alpha)/k}$. Alors $P(\gamma(t))=|P(z_0)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+|a|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}t^k+o(t^k)$ et le module est strictement plus grand que celui de $P(z_0)$ pour $t$ assez petit.

PS : rectification tardive du DL de $P(\gamma(t))$ (ajout de $t^k$).

Madec

Bonsoir
Il me semble q'une fonction holomorphe ne peut admettre de maximum local à l'intérieur de son domaine que si elle est constante .
Donc si le polynôme est de degré non nul , le maximum ne peut être atteint  que sur la frontière du domaine donc sur le cercle.

mike2

Merci Math Coss, je vais y jeter un coup d'œil 

mike2

Okay,merci, j'ai compris en fin de compte.