Un triangle rectangle-isocèle

Jean-Louis Ayme · May 2023

Bonjour,
1. ABC       un triangle acutangle
2. (I)           le cercle inscrit
3. 1            le cercle de diamètre [AC] tel que B en soit extérieur
4. 2            le cercle tangent (BC), (BB), extérieurement à 1,
5. X            le point de contact de 2 avec (BC)
6. F            le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de I.
Question :   le triangle FXI est F-rectangle-isocèle.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol · May 2023

Bonjour,

Voilà en barycentrique, mais que ce fut laborieux.
On a la même propriété avec un centre exinscrit $Jb$.
La construction se fait à l'aide de la parabole de foyer $B'$ et de directrice la tangente en $D$ au cercle de centre $C$ passant par $B'$.

% Jean-Louis Ayme - 17 Mai 2023 - Un triangle rectangle-isocèle

% ABC un triangle acutangle
% (I) le cercle inscrit
% (1) le cercle de diamètre [AC] tel que B en soit extérieur
% (2) le cercle tangent (BC), (BB), extérieurement à (1)
% X   le point de contact de (2) avec (BC)  
% F   le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de I.

% Question :   le triangle FXI est F-rectangle-isocèle.

%-----------------------------------------------------------------------

clc, clear all, close all

syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

Sab=Sa*Sb;
Sbc=Sb*Sc;
Sca=Sc*Sa;

S2=Sab+Sbc+Sca; % 4 fois le carré de l'aire (donc S2=4*S^2)
% (a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c) = 4*S2 = 16*S^2

%-----------------------------------------------------------------------

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

Ap=[0; 1; 1]; % Milieux des côtés du triangle ABC
Bp=[1; 0; 1];
Cp=[1; 1; 0];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit dans le triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms t u x y z real

% Cercle de diamètre [AC]
Gram=MatriceGram(a,b,c);
D1=Wedge(A,[x y z]); D2=Wedge(C,[x y z]);
Fct(x,y,z)=numden(D1*Gram*D2.');
% On trouve l'équation du cercle:
Fct(x,y,z)=(a^2-b^2-c^2)*x*y - 2*b^2*x*z + (-a^2-b^2+c^2)*y*z + (a^2-b^2+c^2)*y^2;

Bs=HomothetieBary(C,Bp,-1); % Bs=[-1; 0; 3]
D1=Wedge(Bp,[x y z]); D2=Wedge(Bs,[x y z]);
EqC=numden(D1*Gram*D2.');
Fun(x,y,z)=collect(Factor(EqC/2),[x y z]);
% On trouve l'équation du cercle de centre C passant par B':
Fun(x,y,z)=3*b^2*x^2 + 2*(2*a^2+b^2-2*c^2)*x*y - 2*b^2*x*z + (4*a^2-b^2)*y^2 - 2*b^2*y*z - b^2*z^2;

Orth=DroiteOrthogonaleBary(C,BC,a,b,c); % Orth=[a^2+b^2-c^2, 2*a^2, 0]
% y=-(a^2+b^2-c^2)*x/(2*a^2)
EqD=collect(numden(Factor(Fun(x,-(a^2+b^2-c^2)*x/(2*a^2),z))),[x y z]);
% AA*x^2 -2*BB*x + CC avec:
AA=(-4*a^6 + 7*a^4*b^2 + 8*a^4*c^2 - 2*a^2*b^4 + 6*a^2*b^2*c^2 - 4*a^2*c^4 - b^6 + 2*b^4*c^2 - b^2*c^4);
BB=2*a^2*b^2*(a^2-b^2+c^2);
CC=-4*a^4*b^2;
NulD=Factor(AA*x^2 -2*BB*x*z + CC*z^2 - EqD); % Vérification
DD=Factor(BB^2-AA*CC); 
% On trouve DD=16*a^6*b^2*(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)
% Ou DD = 16*a^6*b^2*16*S^2 et d=sqrt(DD)=16*a^3*b*S; 
% z/x=(BB +/- d)/CC
syms d real
D=SimplifieBary([x,-(a^2+b^2-c^2)*x/(2*a^2),x*((BB + d)/CC)]);
D=[4*a^4*b^2; -2*a^2*b^2*(a^2+b^2-c^2); -2*a^2*b^2*(a^2-b^2+c^2) - d];

Dir=DroiteOrthogonaleBary(D,Orth,a,b,c); % Directrice de la parabole
Dir=SimplifieBary(Dir); % Dir=[4*a^4*b^2 + d, 4*a^4*b^2, 4*a^4*b^2] ou:
Dir=[4*S + a*b, a*b, a*b];

% Équation de la parabole de foyer B' et de directrice Dir
M=[x; y; z]; D=[4*S + a*b, a*b, a*b];
Eq = ParaboleBary(Bp,Dir,[x y z],a,b,c);
Eq=numden(Factor(subs(Eq,S^2,S2/4)));
Eq=collect(Factor(Eq/(4*S2)),[x y z]);
Fn(x,y,z)=8*S*(2*S+a*b)*x^2 - 2*a^2*(a^2-b^2+c^2)*y^2 + (2*a^2*(-a^2+b^2+c^2) + 8*S*a*b)*x*y + 2*a^2*(a^2+b^2-c^2)*y*z + 4*a*b*(2*S+a*b)*z*x; 
G=Barycentre([B,[a; 0; c]],[1,t]);
Nul=Factor(Fn(G(1),G(2),G(3))/(2*a^2));
Nul=collect(numden(Nul),t)
% Nul = AA*t^2 + BB*t + CC avec:
AAt = 8*S^2 + 4*b*(a + c)*S + 2*a*b^2*c; 
BBt = (a+c)*(4*b*S + (a+c)*(a+b-c)*(b-a+c)); 
CCt = -(a+c)^2*(a^2-b^2+c^2);
Deltat = Factor(BBt^2-4*AAt*CCt);
Deltat=(a+c)^2*(a+b+c)*(a-b+c)*(16*S^2 + 8*b*(a+c)*S + 4*a*b^2*c);
syms ddt real % ddt=sqrt(Deltat)
% t=(-BBt+ddt)/(2*AAt)

%-----------------------------------------------------------------------

F=[0; a+b-c; a-b+c]; % Projeté de I sur (BC)
FI2=Factor(Distance2(F,I,a,b,c));
% On trouve FI2=(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)/(4*(a+b+c))=4*S^2/(a+b+c)^2
% Donc FI=2*S/(a+b+c)
X=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(G,BC,a,b,c));
FX2=Factor(Distance2(F,X,a,b,c));
% On trouve:
FX2=(a+c-b*t)^2*(a-b+c)^2/(4*(a+c)^2*(t+1)^2);
% Donc FX=(a+c-b*t)*(a-b+c)/(2*(a+c)*(t+1))

Equ=numden(Factor((FI2-FX2)/(a-b+c)));
Equ=collect(Equ,t)
pol1=coeffs(Nul,t,'All');
pol2=coeffs(Equ,t,'All');
Res=Factor(Resultant(pol1,pol2))

% 16*S^2 + a^4 - 2*a^2*b^2 - 2*a^2*c^2 + b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4
% est en en facteur dans Res, or ce terme est nul, donc Res=0

Cordialement,

Rescassol