Un résultat de Aliyev

Bouzar

Bonjour
Je propose ce problème.

Dans le triangle ABC, soit $E \in AC, D \in BC$ et $F \in AB$ tels que les droites $(AD), (BE)$ et $(CF)$ soient concourantes. Soit $G \in ED$.

Montrer que $\left(\dfrac{AF}{FB}\right)^2 = \dfrac{DG}{GE} \iff \dfrac{ 1 }{[ADE]^2  } + \dfrac{ 1 }{[BDE]^2  } = \dfrac{1  }{[AEG]^2+[BDG]^2  }.$

$[ADE]$ désigne l'aire du triangle $ADE.$

Amicalement.

NicoLeProf

J'ai commencé en coordonnées barycentriques dans le repère $(A,B,C)$ . Sauf erreur, j'ai $E(u,0,1-u)$ ; $D(0,v,1-v)$ et $F(w, 1-w,0)$ .

Ensuite, j'ai trouvé des équations barycentriques des droites :  

$(AD) : (v-1)y+vz=0$

$(BE) : (1-u)x-uz=0$

$(CF) : (w-1)x+wy=0$ .

La condition "les droites $(AD)$, $(BE)$ et $(CF)$ sont concourantes" peut se traduire par l'égalité des produits vectoriels $(AD) \wedge (BE)$ et $(AD) \wedge (CF)$ si je ne m'abuse. Ce qui donne : $z=2-x$ et $y=\dfrac{x}{2(x-1)}$ .

Je me suis arrêté ici pour le moment. Il faudrait calculer les longueurs $AF$ et $FB$ : ok ça c'est facile même à la main.

Mais il faut calculer $DG$ et $GE$ : c'est bien plus galère à la main à moins que je ne vois pas d'astuce facile. Existe-t-il un logiciel en ligne comme ce que fait Rescassol (ou seulement un logiciel de calcul formel en ligne) pour faire cela?

Et pour les calculs d'aires, je dois réfléchir à une façon de procéder en coordonnées barycentriques.

Rescassol

Bonsoir,

En ligne, il existe Sagemath. Sinon, pour l'aire, voilà ma fonction Matlab:

function S = AireBary(M1,M2,M3)
         % Valeur du rapport de l'aire du 
         % triangle M1 M2 M3 à celle de ABC
         
         S=det([M1 M2 M3])/(sum(M1)*sum(M2)*sum(M3));        
end

L'aire du triangle $ABC$ peut se calculer par la formule de Héron, mais avec une racine carrée.

Cordialement,
Rescassol

pldx1

Bonjour

Il y a un lien simple entre $\dfrac {DG}{GE}$  et  $\;\dfrac {\overrightarrow{DG}}{\overrightarrow{GE}}$.

Cordialement, Pierre.

Malgame

Bonjour,

Je ne sais pas ce que c'est que le quotient de deux vecteurs...

Rescassol

Bonjour,

Le quotient de deux vecteurs est celui des complexes associés, en l'occurrence les mesures algébriques sont de même signe et les vecteurs de même sens (Ici $\dfrac{DG}{GE}=\dfrac{1}{t}$, mais ça marche aussi si $G$ est à l'extérieur de $[DE]$).
Voilà une solution en barycentriques:

% Bouzar - 16 Mai 2023 - Un résultat de Aliyev

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%-----------------------------------------------------------------------

syms t u v w real

D=[0; v; w]; E=[u; 0; w]; F=[u; v; 0]; % Les pieds céviens de [u; v; w]
G=Barycentre([E, D],[1, t]); % Un point quelconque de (ED)

AF2=Distance2(A,F,a,b,c); FB2=Distance2(F,B,a,b,c); % Carrés de distances 
DG2=Distance2(D,G,a,b,c); GE2=Distance2(G,E,a,b,c); 
Eq1=numden(Factor(AF2^2*GE2-FB2^2*DG2))

ADE=AireBary(A,D,E); BDE=AireBary(B,D,E); % Rapports d'aires à celle de ABC
AEG=AireBary(A,E,G); BDG=AireBary(B,D,G); 
Eq2=numden(Factor(1/ADE^2+1/BDE^2-1/(AEG^2+BDG^2)))

% Eq1 et Eq2 s'annulent simultanément si - u^2 + t*v^2 = 0

Cordialement,

Rescassol

Bouzar

Bonjour Rescassol,
Merci pour ta contribution.
Cordialement.

Jean-Louis Ayme

Bonsoir,
pour commencer, j'ai recherché une traduction géométrique de la condition nécessaire qui éclaire la suite...

Sincèrement
Jean-Louis

pldx1

Malgame a dit : Je ne sais pas ce que c'est que le quotient de deux vecteurs...

Malgame le sait.  Et donc Malgame devrait augmenter son savoir en y ajoutant la conscience de ce savoir. 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

je pensais y arriver mais je bloque...Une aide serait la bienvenue...

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Cette configuration correspond sur la figure ci-dessous à $M=[u; v; w]$ (point quelconque du plan) par rapport à $ABC$ et $N=[u^2; v^2; w^2]$ par rapport à $DEF$.
On sait que $u,v,w$ sont proportionnels aux aires algébriques des triangles $MBC,MCA,MAB$, et $u^2,v^2,w^2$ sont proportionnels à celles des triangles $NEF,NFD,NDE$.

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Merci Rescassol...je continue à rechercher une solution à l'ancienne.

Bouzar avez-vous une référence de ce résultat?

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme

Finalement, je me pose la question : la formule est-elle correcte?

Seuls Rescassol et Bouzar peuvent trancher...

Merci pour votre aide

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

OK pour la formule que j'ai réussi à démontrer à l'ancienne...par la technique des proportions...next on my site.

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour
Dans la figure ci-jointe, avec les mêmes notations, on a $N=[u^2; -v^2; w^2]$.

La relation $\left(\dfrac{AF}{FB}\right)^2=\dfrac{DG}{GE}$ est toujours vraie.

Par contre, la relation $\dfrac{1}{ADE^2}+\dfrac{1}{BDE^2}=\dfrac{1}{AEG^2+BDG^2}$ est fausse.

On a $\dfrac{1}{ADE^2}+\dfrac{1}{BDE^2}-\dfrac{1}{AEG^2+BDG^2}=\dfrac{4(u+w)^2(v+w)^2}{w^2(u^2+v^2)}$.

Mais on a $\dfrac{ADE}{BDE}=\dfrac{BDG}{AEG}=\dfrac{v}{u}$.
Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
avec G appartenant à  ]DE[
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Autour des aires geometriques 1.pdf   Problème 1

Sincèrement
Jean-Louis

gipsyc

Bonjour
Une contribution de Ichung Chen, sur base du schéma suivant proposé par moi (en anglais) dans un forum sur Facebook.
Mon schéma 

En introduction - de ma part - à la réponse d'Ichung Chen
1/[BEF]² + 1/[CFE]² = 1/([BKF]² + [CKE]² ) à prouver
Soit LHS = 1/[BEF]² + 1/[CFE]²
(NB : Left Hand Side = côté gauche de l'égalité)
Soit RHS = 1/([BKF]² + [CKE]² )

1/[BEF]² + 1/[CFE]² = 1/([BKF]² + [CKE]² )
⇔
[ABC]² LHS = [ABC]² RHS

[ABC]² LHS
   = [ABC]² / [BEF]² + [ABC]² / [CFE]²
[ABC]² RHD
   = [ABC]² /([BKF]² + [CKE]² )
   ⇒
   1/([ABC]² RHD)
   = [BKF]²/[ABC]² + [CKE]²/[ABC]²

Et la réponse d'Ichung Chen proprement dite reprise telle que reçue.
denote AF/FB = p, AE/EC = q
[ABC]/[BEF] = (p+1)(q+1)/q
[ABC]²．LHS = (p+1)²(q+1)²．(1/p²+1/q²)
[BKF]/[ABC] = (p²/(p²+q²))．(q/(p+1)(q+1))
[ABC]²．RHS = (p²+q²)²(p+1)²(q+1)²/(p²q²(p²+q²)) =
[ABC]²．LHS

À son habitude, Ichung Chen ne donne que les étapes essentielles, en suposant de la part du lecteur une bonne culture géométrique.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
avec retard...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Autour des aires geometriques 1.pdf     Problème 1 : une équivalence.

Sincèrement
Jean-Louis