Qui suis-je 2 en longueurs

Tonm

Bonsoir, ce problème est largement venu de celui dans Crux 4814. 
Je suis un triangle $ABC$  tel que la bissectrice issue de $A$, coupe $[BC]$ en $E$ et le cercle circonscrit en $D$ ($D\neq A$): avec $BD=2ED$. Trouver (caractériser) ce suspect d'une façon ou une autre.  
Cordialement.

Rescassol

Bonjour,

Cela arrive si $BC=\dfrac{AB+AC}{2}$.

Cordialement,
Rescassol

Tonm

Bonjour, oui (par un calcul) on a un si et seulement si, (si vous voulez mettre des détails parce que ce n'est pas simple en principe)  c'est une expression qui se factorise par programme...
Cordialement. 

Rescassol

Bonjour,

Voilà mon calcul en barycentrique:

% Tonm - 15 Mai 2023 - Qui suis-je 2 en longueurs

% Je suis un triangle ABC tel que la bissectrice issue de A
% coupe [BC] en E et le cercle circonscrit en D (D≠A) avec BD=2ED
% Trouver (caractériser) ce suspect d'une façon ou une autre.

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%-----------------------------------------------------------------------

E=[0; b; c]; D=[a^2; -b*(b+c); -c*(b+c)];

BD2=Distance2(B,D,a,b,c);
ED2=Distance2(E,D,a,b,c);

Nul=numden(Factor(BD2-4*ED2))
% On trouve a^2*b*c*(b-2*a+c)*(2*a+b+c)=0 donc 2*BC=AB+AC

Cordialement,
Rescassol

Tonm

Merci, comme ça c'est bien court.  Le problème 4814  Crux est ainsi: 
On se donne un triangle $ABC$ avec $G$ le centre de gravité et $I$ le centre de son cercle inscrit. On suppose $(GI)\parallel (BC)$. La bissectrice issue de $A$, coupe $ [BC]$ en $E$ et le cercle circonscrit en $D$ ($D\neq A$). Montrer que $ BD=2ED$.

Bouzar

Bonjour,
Rescassol a donné tous les éléments, mais je donne un réponse en fonction du dernier message de Tonm.

Une équation barycentrique de la droite $(GI)$ est $ (−b⁢+c)⁢x+(a−c)⁢y+(−a+b)⁢z=0$.
Une équation barycentrique de la droite $(BC)$ est $x=0.$
Par suite, $(GI)\parallel (BC) \iff −2⁢a+b+c =0.$

On a : $BD^2 -4ED^2 = a^2bc(-2a+b+c)(2a+b+c)=0$.
Cordialement

NicoLeProf

Bonjour,

bien parti et toujours en route pour comprendre les coordonnées barycentriques, j'ai encore tendance à trouver les calculs très longs.

J'ai bien trouvé les équations barycentriques de Bouzar pour $(GI)$ et $(BC)$ . J'ai bien trouvé la condition $b+c=2a$ .

J'ai également réussi à trouver les coordonnées barycentriques de $E$.

Pour $D$, je trouve comme Rescassol mais j'ai bien galéré : pour trouver les coordonnées barycentriques de $D$, j'ai résolu un système contenant une équation barycentrique du cercle circonscrit au triangle $ABC : xyc^2+yza^2+zxb^2=0$ ; une équation barycentrique de la bissectrice issue de $A : -cy+bz=0$ et la condition : $x+y+z=1$ . Ce fut très long, je me suis trompé plusieurs fois mais j'ai finalement trouvé comme Rescassol ! Y a-t-il plus simple pour déterminer (à la main) les coordonnées barycentriques de $D$ ?

Enfin, j'ai vraiment du mal encore à calculer $BD^2$ et $ED^2$ facilement : je passe par les coordonnées barycentriques de $D$, je réécris vectoriellement ce que cela signifie et j'utilise la relation de Chasles. Je trouve alors un truc du genre : $(a^2-b^2-c^2-2bc) \overrightarrow{DB}+(a^2-cb-c^2)\overrightarrow{BA}-c(b+c)\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ . Puis, il faudrait isoler $\overrightarrow{DB}$ et utiliser la formule donnée par JLT dans un autre fil de discussion pour pouvoir calculer $DB^2$ .

C'est vraiment long et calculatoire ! Il n'y a pas plus rapide?

Jean-Louis Ayme

Bonsoir,

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol17.html   puis AB+BC = 2.BC

Sans le recours à Rescassol que je remercie...je n'aurai pas pu donner cette référence...

Sincèrement
Jean-Louis

Tonm

Bonsoir, merci J. Louis et Bouzar. En fait la figure dans le document est celle jointe, on peut montrer en trouvant les angles que $BIU$ est isocèle en $U$, et $BU=IU=AI$. 
($I$ le centre du cercle inscrit).
En fait en faisant des calculs avec les notations de cet image  on aura (sauf erreur) $AB+AC=kBC$ ($k>1$) si et seulement si $BU=kXU$; si et seulement si $IX=\dfrac{1-\frac{k-1}{1+k}}{2}AX$.

Cordialement.