Démonstration intersection cercle et droite

Lazare

Bonjour.
Existe-t-il une démonstration pour dire que si on trace un cercle en posant son centre sur une droite il coupe la droite en deux endroits ? 
Ou alors y a-t-il un ou des axiomes pour cette question ? 

Dom

Avec un repère orthonormé, ça se fait bien. 

On pose l’origine du repère en son centre $(0;0)$. 

Son rayon est ramené à l’unité donc son équation est $x^2+y^2=1$. 

Quitte à tourner, la droite est l’axe des abscisses d’équations $y=0$. 

Par contre, je ne sais pas s’il se cache un ou plusieurs axiomes…

Lazare

@Dom
Ok. Mais le théorème de Pythagore utilise indirectement cette propriété du cercle qui rencontre une droite dans ces démonstrations alors l'utiliser produit un raisonnement circulaire. 

Edit: par exemple je pense à la construction d'un angle droit au compas et à la règle. Pour construire deux triangles isocèles en symétrie par rapport à leur base il faut compter sur cette propriété. 

Math Coss

Si on utilise une vraie règle et un vrai compas dans le monde physique, la propriété est évidente; elle se voit, elle s'expérimente et on n'a pas de problème.

Si on veut une démonstration il faut d'abord se mettre d'accord sur un système d'axiomes. Est-ce qu'on part d'un système [algèbre linéaire + forme quadratique définie positive] ou d'un système d'axiomes à la Euclide-Hilbert ? Qui dit que le théorème de Pythagore, ou plutôt telle ou telle de ses innombrables démonstrations, utilise cette propriété ?

gerard0

Bonjour Lazare.
Ta question n'a de sens qu'avec la donnée d'une construction axiomatique de la géométrie. Pour la construction moderne (plan de la géométrie plane = $\mathbb R^2$), ta propriété est une conséquence évidente des axiomes ; pour la méthode euclidienne, bien refondée par Hilbert, c'est une traduction de l'un des axiomes d'incidence. Pour d'autres axiomatiques, je ne sais pas.
Cordialement.

Lazare

@Math Coss
Je cherche un systeme d'axiome à la Euclide/Hilbert.

Rajout: 
En fait à la base je cherchais a m'expliquer pourquoi quand on trace deux cercles de rayon suffisament grand au compas à partir de deux étremitées d'un segment on n'obtient pas un seul triangle mais deux. Et comment différencier les deux points aux deux sommets obtenus ?  Pour construire un angle droit on à besoin d'utiliser deux triangles "miroirs" à partir d'un segment donc je ne m'autorise pas Pythagore dans ma recherche d'explications. En creusant un peu je suis arrivé à penser que cette propriété des triangles doubles découlait de cette propriété du cercle qui le fait couper une droite en deux points.

PetitLutinMalicieux

Bonjour
Il y a 0, 1 ou 2 intersections (ou une infinité si les centres sont confondus). Les 2 cercles peuvent être suffisamment grands pour être tangents et n'avoir qu'une seule intersection ne donnant qu'un seul triangle plat. En utilisant l'expression "suffisamment grands", tu te mets, sans le dire, dans le cas implicite des 2 intersections. Ce qui n'est pas une évidence obligatoire.

Lazare

@PetitLutinMalicieux

Suffisament grand pour former la relation qui me semble mysterieuse. 

Julia Paule

Pour distinguer les 2 points d'intersection, on trace la droite qui les relie et on oriente le plan (en général le sens trigonométrique, qui est le sens inverse des aiguilles d'une montre). Alors le segment et la droite forment en leur point d'intersection deux angles droits orientés, l'un de mesure $\dfrac{\pi}{2}$ l'autre de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$.

Lazare

@Julia Paule
Merci pour ta réponse. Je ne comprends pas comment tu fais pour trouver des angles droits. 

Julia Paule

Appelons $[AB]$ le segment, $M$ et $N$ les points d'intersection des 2 cercles de rayons suffisants.

On a élémentairement $AM=AN$, $BM=BN$, donc $(AB)$ est la médiatrice du segment $[MN]$. Or la médiatrice d'un segment (qui est par définition l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment) est perpendiculaire à ce segment (cela se démontre).

PetitLutinMalicieux

Certes. Mais il n'est pas dit que les cercles qui s'intersectent ont le même rayon. Pourtant, on a un angle droit.

Julia Paule

PLM, je n'ai pas dit $AM=BM$.

gerard0

Bonjour Lazare.
Si les deux rayons sont plus grands que le segment, et que leur différence n'est pas la longueur du segment, il n'y a pas d'intersection sur la droite $(D)$ support du segment. S'il y a une intersection (car "suffisamment grand" ne justifie pas cette existence, l'un des cercle pouvant être contenu dans l'autre), alors par symétrie par rapport à $(D)$, il y en a une autre. D'où la perpendicularité.

L'existence d'intersection est liée à l'inégalité triangulaire, $ABM$ étant un vrai triangle.
Cordialement.

Lazare

@gerard0
J'ajoute la précision que mon "suffisamment grand" veut dire "ni trop ni pas assez".

Lazare

@Julia Paule
Ok. Dans ton premier message je croyais que tu parlais de l'intersection droite/cercle avec le centre sur la droite.
Du coup. Qu'appelles-tu "orienter le plan" ?

Lazare

@PetitLutinMalicieux
Je crois que si on relie les points des deux triangles ça donne un angle droit avec le premier segment (enfin la droite si on le continue) mème si les deux cercles n'ont pas la mème taille. 

gerard0

C'est ce que je démontrais dans mon précédent message. 

Lazare

@gerard0
Ok mais c'est un peut du hors sujet. 

Lazare

Pour revenir à l'intersection cercle/droite avec le centre du cercle sur la droite. 
J'aurais une explication qui me semble logique et qui généralise le problème à toutes les dimensions:
<<<Si une n-sphère est coupée en son centre par un espace de dimension m (avec m<n) l'intersection de la n-sphère et de l'espace donne une m-sphère.>>>
Mais il reste à définir des objets supers compliqués tels que une n-sphère un un n-espace avec des axiomes basiques à la Euclide/Hilbert pour que ce soit valide. Je me demande si c'est possible...

Math Coss

Je vois bien comment démontrer la propriété entre guillemets avec Pythagore, ça me semble bien plus difficile sans ça. De toute façon je ne comprends pas les règles qu'on se fixe ni l'intérêt de se priver de Pythagore, qui est tellement basique que c'est devenu la façon standard d'exprimer que la distance est euclidienne dans les axiomatisations modernes. Bon courage pour te dépatouiller ! 

[Utilisateur supprimé]

Je ne dirais pas ça, car je crois que tu ne parles que d'une propriété de la notion de distance pour des bases orthogonales.
Je dirais que c'est plutôt quelque chose comme le produit scalaire (sur les vecteurs, différences de deux vecteurs position) qui exprimerait que la distance est euclidienne.
Enfin, ce n'est pas non plus super clair pour moi.

Edit : 
Notamment, on a que des géométries euclidiennes et non eucludiennes, c'est binaire ?
On ne peut pas avoir une géométrie euclidienne, une x-ienne et une autre y-ienne ?

gerard0

Bonjour.
Si les explications géométriques sont hors sujet, quel est le sujet ? 
II est difficile de comprendre ce que tu veux, Lazare. Tu parles de démonstrations, mais tu ne précises jamais quelles sont les règles de base, tu mélanges même les axiomatiques.
Un peu de sérieux ne serait pas de trop. 

Lazare

@gerard0
Les explications géométriques ne sont pas hors-sujet mais expliquer pourquoi les cercles ne se croisent pas forcement en deux points ce n'est pas ce que je cherche à développer ici. 

Dom

En fait, les bonnes volontés, ce n’est pas ce qui manque ici. 

On veut bien proposer une réponse précise mais on en n’est pas capable tant que l’on n’a pas de question précise. 

Ou alors, et c’est louable, le sujet est de proposer une question précise par rapport à ces essais vagues (je ne critique pas). 

gerard0

Lazare,
soit tu veux faire de la géométrie, auquel cas les conditions d'incidence de cercles sont fondamentales (et font partie de la preuve), soit tu viens ici pour je ne sais pas quoi.

Si tu veux vraiment faire de la géométrie, choisis une axiomatique et dis-nous laquelle, puis, si c'est celle de Hilbert, relis mes messages qui répondent correctement à tes questions, dans cette axiomatique. Si c'en est une autre, tu nous as induit en erreur avec ton message "Je cherche un système d'axiome à la Euclide/Hilbert."

Lazare

Le sujet ne m'interesse plus. J'ai eu les retours que je cherchais sur la questions. Merci à vous. 

Ludwig

Donc pour ce fil Lazare est mort. Mais il pourrait bien ressusciter... à l'aide d'un produit en Croix par exemple.

Lazare

@Ludwig
Après si vous voulez continuer à discuter je ne suis pas contre. 

Lazare

Sinon dans l'idée de ressuciter le fil. Je reformule mon problème d'une autre manière.

J'ai un espace à une seule dimension avec une origine O et des points n'ayant que l’abscisse pour coordonnée. 

Dans cet espace je place les points A de coordonnée a et B de coordonnée b.

Démontrer sans utiliser le théorème de Pythagore ni celui d'Al Kashi que la distance $[AB]=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2-2ab}$
Ou bien démontrer que c'est impossible à démontrer. 

gerard0

Pas besoin de de théorèmes de géométrie, seulement de la définition de la distance (ou bien de la définition des coordonnées à partir de la distance) - c'est un classique du collège jusqu'à la fin du siècle dernier. Je change la notation, $[AB]$ dénote le segment AB, la distance est classiquement $AB$. Je prend la définition habituelle de la distance :

$AB =|b-a|=\sqrt{(b-a)^2)}$. Fini.
Cordialement.

NB. Parler de théorèmes comme Pythagore ou Al Kashi dans un espace à une seule dimension est ridicule !

Julia Paule

Lazare a dit :

@Julia Paule. Du coup. Qu'appelles-tu "orienter le plan" ?

Cette question n'a pas été répondue, j'y réponds au cas où cela t'intéresse encore.

Pour orienter le plan, on le munit d'un repère, c'est-à-dire 3 points non alignés, ou encore un point et deux vecteurs non colinéaires qui constituent une base du plan vectoriel associé, disons $(e_1,e_2)$ (attention l'ordre des vecteurs est important). Alors orienter le plan, c'est décréter que cette base est directe (ou bien indirecte). Alors pour tout repère, ou encore toute base $(e'_1, e'_2)$, celle-ci sera dite directe si le déterminant des vecteurs dans la base $(e_1,e_2)$ est $>0$ (indirecte si $<0$). Par exemple $(e_2,e_1)$ ou encore $(e_1,- e_2)$ sera indirecte.

Pour $(e_1,e_2)$ directe, géométriquement cela revient à dire que la mesure de l'angle géométrique (par opposition à orienté) saillant (compris entre $0$ et $180$ degrés) qui va de $e_1$ à $e_2$ est décrété positif.

Avec une base orthonormée directe, on a un lien entre le déterminant d'un couple de vecteurs dans cette base et le sinus de l'angle formé par ces vecteurs : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/914961#Comment_914961.

Tout cela se généralise avec un espace de dimension $n$ quelconque, qu'on peut lui aussi orienter à l'aide d'une base qu'on décrète directe ou indirecte.

Julia Paule

@Lazare Pour la question qui suit, on ne va pas pouvoir "démontrer" que la distance $AB$ est égale à $|a-b|$. Pourquoi ? Parce qu'il faut d'abord définir ce qu'est la distance entre deux points.

Alors, on est astucieux et on définit la distance $AB$ justement par le réel positif $|a-b|$ (après avoir posé les préalables nécessaires : on munit la droite d'un repère orienté normé, c'est-à-dire deux points, ou un point et un vecteur qu'on décrète direct et de mesure $1$, et on appelle $a$ et $b$ les abscisses de $A$ et $B$ dans ce repère).

Math Coss

On peut aussi définir la distance entre les points d'abscisses respectives $a$ et $b$ comme $|\mathrm e^a-\mathrm e^b|$. Cela donne une distance bona fide. On peut faire des choses beaucoup plus tordues aussi. La donnée d'une bijection d'une droite sur $\R$ ne détermine pas une distance et donc pas une géométrie. 

gerard0

Bonjour Math Coss.
Sauf erreur, ta distance ne respecte pas les axiomes de Hilbert. Je n'ai pas le temps d'aller voir de près, mais en gros, il n'y a pas conservation de la distance par translation. La notion de longueur, en géométrie plane, est fortement liée au reste de la structure (parallélisme, perpendicularité, déplacements, ...).

Sinon, ta remarque m'a rappelé l'ahurissement des profs de quatrième vers 1972 lorsqu'ils ont découvert la définition d'un axe en géométrie. Définition qui a totalement disqualifié la réforme dite "des maths modernes", jusque là pas très bien acceptée par les parents, mais que les profs de collège essayaient vraiment de mettre en œuvre (avec plaisir pour les plus jeunes).
Cordialement.

Soc

gerard0 a dit :

Sinon, ta remarque m'a rappelé l'ahurissement des profs de quatrième vers 1972 lorsqu'ils ont découvert la définition d'un axe en géométrie.

@gerard0 Peux-tu développer s'il te plait, cela m'intéresse !

Lazare

Donc gerard0 et Julia Paule ce que vous dites c'est que la définition d'une distance par |a-b| est un axiome qui se passe de plus d'explication que lui mème ?

Ps : gerard0 essaye la formule d'Al Kashi avec cos(0).

Math Coss

@gerard0 : Ça dépend de ce qu'on appelle translation mais tu as raison. En revanche je ne vois pas de trace de Hilbert dans le dernier message de Lazare.

Math Coss

Quel sens cela a-t-il d'appliquer la formule d'Al Kashi 1) en dimension 1 si on veut comprendre la droite parce que le plan est trop compliqué ?  2) si on refuse le théorème de Pythagore qui en est un cas particulier ? 
Ça devient de plus en plus fumeux.

gerard0

Soc, la définition disait qu'un axe est une droite munie d'une famille de bijection de la droite sur $\R$ qui se déduisaient les unes des autres par composition avec une fonction affine. Tu peux la trouver facilement sur Internet, elle fait encore réagir certains. J'ai moi-même été un peu ahuri quand je l'ai trouvée dans le cours d'un jeune à qui je donnais des cours particuliers.
Cordialement.

gerard0

Lazare
Je n'utilise pas les formules de géométrie plane quand je travaille en géométrie à une dimension, je suis raisonnable. Cependant, je sais très bien appliquer les formules de géométrie plane à des points alignés, avec angle 0 ou $\pi$, mais alors je fais de la géométrie 2D.

Tu auras du mal à m'apprendre ce que j'ai pratiqué depuis 70 ans.

Soc

@gerard0 Merci! Si je lis correctement la définition, définir un axe c'est se donner une bijection sur R à une fonction affine près. Du coup je suis effectivement aussi ahuri de vouloir introduire cela au collège). Pour voir si je comprends bien l'idée, pour obtenir un axe gradué:

* On prend une bijection comme référence (peu importe laquelle).

* L'endroit où l'on va placer l'origine des graduations va définir le b de la fonction affine, le sens croissant va définir le signe de a et l'espacement des graduations va définir la valeur absolue de a.

Est-ce bien cela? Ce qui m'étonne c'est qu'il n'y ait pas de référence à la distance dans cette définition, du coup comment fait-on pour définir un repère normé?

gerard0

Oui, tu as saisi.

Et tu tombes sur l'un des problèmes, qui n'est pas la notion de distance (c'est en fait une définition purement affine), mais le lien entre les bijections sur des axes différents. Ce problème est réglé dans l'axiomatique de Hilbert par plusieurs axiomes qui permettent de relier différents axes.

En fait, les concepteurs des programmes "maths modernes" imaginaient donner une axiomatique affine en quatrième, et rajouter la structure euclidienne en troisième. Mais les collégiens (même ceux des classes "de type I" de l'époque) ne voyaient pas grand chose d'utile si on leur supprimait les notions de longueur et de perpendicularité vues dès l'école primaire. Ces concepteurs se faisaient plaisir; et une partie des promoteurs de la réforme (comme par exemple Maurice Glaymann, que j'ai connu et apprécié à l'IREM de Lyon) avaient déjà démissionné.

gerard0

En revoyant les axiomes de Hilbert, j'ai remarqué que le premier axiome de congruence (*) donnait immédiatement la réponse à la question initiale de Lazare, une fois la notion de longueur (ou de distance de deux points) définie.

(*) deux segments sont congrus si ils ont la même longueur (explication intuitive, en axiomatique, il n'y a pas de "signification").