Géométrie plane

Arnaud_G

Bonjour à toutes et tous
Voici un énoncé intéressant.

Soit un triangle $ABC$.
On construit les carrés $ACDE$ et $BCFG$ adossés aux côtés $[AC]$ et $[BC]$ vers l'extérieur du triangle.
On place les points I,J,K et H, milieux respectifs de $[AB], [AD], [DF]$ et $[FB]$.
Démontrer que le quadrilatère $IJKH$ est un carré.

J'ai déjà trouvé une solution à l'aide des complexes et de rotations.
Je cherche actuellement une solution qui n'utiliserait que des outils de géométrie plane.
Démontrer que $IJKH$ est un parallélogramme est simple... pour la suite, une chasse aux angles ne m'a rien donnée pour le moment, ...

Rescassol

Bonjour,

d=c-i*(a-c); e=a+i*(c-a);
f=c+i*(b-c); g=b-i*(c-b); 
h=(b+f)/2; ii=(a+b)/2; 
j=(a+d)/2; k=(d+f)/2; 

Nul=Factor(h+j-ii-k) % On trouve 0
r=Factor((j-ii)/(h-ii)) % On trouve i

Cordialement,

Rescassol

Ludwig

Bonsoir,
Il est également simple de montrer que $HIJK$ est un losange.

NicoLeProf

Salut Arnaud,

je trouve ta figure un peu trompeuse (lol) car on a l'impression que les points $A$, $C$, $F$ d'une part et $B$, $C$ et $D$ d'autre part sont alignés. Ce qui n'est pas forcément le cas.

Pour le moment, j'ai seulement réussi à démontrer que $IJKH$ est un losange en remarquant que les triangles $BCD$ et $ACF$ sont semblables et même isométriques.

[En effet, $\widehat{BCD}=\widehat{ACF}$, $AC=CD$ et $BC=CF$ . Ce qui nous apporte que $AF=BD$. Le théorème des milieux permet ensuite de conclure.]

Je vais encore chercher des arguments de "géométrie pure" (il faudrait par exemple prouver que $(AF) \perp (BD)$) pour pouvoir arriver au stade ultime du carré !

Rescassol

Bonjour,

Si $r$ est la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, on a $r(B)=F$ et $r(D)=A$, donc $(BD)$ et $(AF)$ sont orthogonales.

Cordialement,
Rescassol

NicoLeProf

Merci beaucoup Rescassol : cela permet de démontrer que l'angle $\widehat{IJK}$ est droit donc de conclure !

Arnaud_G

Merci pour vos retours.
J’étais dans une impasse avec les angles…
effectivement la figure est trompeuse et ne fait pas penser à utiliser les triangles BCD et ACF.

gipsyc

Théorème de Varignon
Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme de Varignon.
Par application du théorème des milieux, on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux.

Lorsque les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires le parallélogramme de Varignon est un rectangle.
Si elles sont de même longueur, c'est un losange.

Et en toute logique, si les diagonales du quadrilatère sont à la fois perpendiculaires et de même longueur, le parallélogramme de Varignon est un carré ... le cas dans l'exercice proposé. avec le quadrilatère ABDF.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Arnaud_G

Effectivement, Varignon !
Merci.

GG

Bonjour à tous !

Juste une remarque, en passant.

Pour montrer que les segments $DB$ et $AF$ sont égaux et perpendiculaires (notations de la figure du premier post), il suffit de remarquer, comme cela a été fait, que la rotation de centre $C$ qui applique $D$ sur $A$ amène $B$ sur $F$, autrement dit que les angles orientés $DCA$ et $BCF$ sont directement isométriques. Mais comment le prouver (proprement) ? Car après tout, cette rotation pourrait appliquer $B$ sur le symétrique de $F$ par la réflexion d'axe $BC$.

Or, si l'on ne veut par encourir les terribles foudres de pldx1 en disant que "cela se voit sur la figure" comme la lecture de ce fil pourrait le laisser entendre dès lors que personne n'en a parlé, il convient de donner une justification moins douteuse. Cela pourait être : 

De la formulation approximative que "les carrés sont adossés aux côtés du triangle vers l'extérieur du triangles", on retient que les angles orientés $DCA$ et $BCA$ appartiennent à des demi-plans de frontière $AC$ différents et sont donc d'orientation opposée, tout comme les angles orientés $FCB$ et $ACB$. Il s'ensuit que les angles orientés $DCA$, $ACB$ et $BCF$ sont de même orientation. Comme les angles non orientés $DCA$ et $BCF$ sont isométriques (ce sont des angles droits), les angles orientés $DCA$ et $BCF$ sont bien directement isométriques.

Arnaud_G

"Car après tout, cette rotation pourrait appliquer B sur le symétrique de F par la réflexion d'axe BC."

Il ne suffit pas de préciser le sens de rotation pour éluder cet écueil ?

gerard0

Non, car il y a deux carrés de côté $AC$. L'explication de GG donne la traduction de l'énoncé (peu précis, en langage courant) en termes géométriques.
Cordialement.

GG

@Arnaud_G,
Quelle est ta définition du sens d'une rotation ?
Quel est celui de la rotation qui applique $D$ sur $A$ ? Celui  de celle qui applique $B$ sur $F$ ?
Pourquoi ces sens sont-ils les mêmes ?