Indicatrice d'Euler

nyadis
Modifié (May 2023) dans Arithmétique
Bonjour ! Si $n$ est suffisamment grand, peut-on écrire que $$\frac{\varphi(n)}{n} \gg  1 \quad?$$
Cela me semble logique lorsque je considère la relation suivante sur Wikipédia. $$ \frac{\varphi(n)}{n} > \frac{\mathrm{e}^{-\gamma}}{\log_2n}$$
https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d'Euler

Réponses

  • Renart
    Modifié (May 2023)
    Quelles sont les définitions que tu utilises ? On a $\varphi(n) \leq n$ quel que soit l'entier $n\in \N^*$, donc $\varphi(n)/n \leq 1 $, l'inégalité est d'ailleurs stricte si $n > 1$. On n'a donc aucune chance d'avoir $\varphi(n)/n \gg 1 $.

    Peut-être voulais-tu dire $\varphi(n) \gg 1$ ? Dans ce cas là la réponse est oui, notamment d'après l'inégalité que tu donnes. 
  • Bonjour,
    On a $\frac{\varphi(n)}{n} \ll 1$ mais aussi $\frac{\varphi(\#p_n)}{\#p_n} = \prod_{k = 1}^n \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) \underset{n \to +\infty}{\to} 0$ pour $\#p_n = \prod_{k = 1}^n p_k$ avec $p_1, p_2, ..., p_n$ les $n$ premiers nombres premiers (car $\sum_{k \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{p_k}$ diverge). Donc non, il est faux d'écrire que $\frac{\varphi(n)}{n} \gg 1$.
  • Je comprends. Mais ce n'est pas une inégalité stricte lorsque j'écris $\frac{\varphi(n)}{n} \gg 1$. Ici, la notation $\gg$ fait référence à la notation grand $O$. Donc je veux dire $\frac{\varphi(n)}{n} =O(1)$ lorsque $n$ est très grand. 
  • noix de totos
    Modifié (May 2023)
    Tu as mis tes inégalités dans le mauvais sens : $f \ll g \iff f = O(g)$ et $f \gg g \iff g = O(f)$.

    Exemple. L'inégalité mise dans ton premier message s'écrit (moins précisément) sous la forme $\varphi(n) \gg \frac{n}{\log \log n}$.
  • noix de totos
    Modifié (May 2023)
    Un petit point de détail supplémentaire.

    L'inégalité explicite fournie par Nyadis dans son premier message est fausse en général. En fait, on sait qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $\varphi(n) < \dfrac{n}{e^\gamma \log\log n}$ (Nicolas, 1983).

    En revanche, en voici trois qui corrigent cette coquille : 

    (i) Rosser & Schœnfeld, 1962. Pour tout entier $n \geqslant 3$,
    $$\varphi(n) \geqslant \frac{n}{e^{\gamma} \log \log n + 2,50637 (\log \log n)^{-1}}.$$
    (ii) Nicolas, 2008. Pour tout entier $n \geqslant 3$,
    $$\varphi(n) \geqslant \frac{n}{e^{\gamma} \log \log n + 3,65278}$$
    avec égalité si $n=6$. De plus, si $n \geqslant 211$, alors
    $$\varphi(n) \geqslant \frac{n}{3 \log \log \varphi(n)}.$$
    En particulier, l'inégalité $\varphi(n) \gg n (\log \log n)^{-1}$ est parfaitement correcte.
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