Problème du prolongement d'un champ orthonormal au bord d'un corps

rsieuz29

Bonjour à tous
Je viens vers vous afin de partager un problème qui se montre résistant depuis une bonne semaine.
Tout d'abord, quelques définitions essentielles.

Nous noterons Sn l'hypersphère de dimension n et R^{n+1} l'espace euclidien de dimension n+1. Ensuite, nous dirons qu'une partie K ⊂ Sn est un corps si elle est d'intérieur non vide et correspond à l'adhérence de son intérieur.

Considérons donc K ⊂ Sn un corps dont le bord ∂K est une hypersurface (lisse) orientable.
On considère alors l'existence d'un champ v : ∂K ---> Sn orthonormal au bord ∂K vérifiant que pour tout x ∈ ∂K, il existe a>0 tel que si γ : R ---> Sn est la géodésique qui passe par le point x à la vitesse v(x) à l'instant t=0, alors pour tout t ∈ ]0, a[, γ(t) ∈ Sn\K. On appellera naturellement "orientation extérieure" le champ v ainsi défini.

Question. Supposons que w : K ---> R^{n+1} correspond à un prolongement du champ v sur le corps K tout entier. Alors, existe-t-il un point x ∈ Int(K) tel que la différentielle d_x w est nulle ?

>Voilà donc ce que l'on peut appeler une colle.
Je vous remercie par avance pour toute réponse  potentielle avancée sur cette question.