Deux particules suivant la même loi

marco

Bonjour,

Soit $\psi_1$ et $\psi_2$ deux bosons suivant la même loi, c'est-à-dire que le lagrangien de $\psi_1$ est par exemple $\mathcal{L}_1=f( \psi_1, \partial_x \psi_1, \cdots, \partial_t \psi_1)$ et le lagrangien de $\psi_2$ est $\mathcal{L}_2=f( \psi_2, \partial_x \psi_2, \cdots, \partial_t \psi_2)$ (c'est la même fonction $f$). Est-ce que la seconde quantification de $\mathcal{L}=\mathcal{L}_1+ \mathcal{L}_2$ (avec deux particules $\psi_1$ et $\psi_2$ donc) donnera le même résultat que la seconde quantification de $\mathcal{L'}=\mathcal{L}_1$ (avec une seule particule $\psi_1$) ?

Je ne pense pas, car dans le deuxième cas $\mathcal{L'}$, si on a trois bosons $\psi_1$ dans l'état $e$, cela fait une seule possibilité. Alors que dans le premier cas $\mathcal{L}$, si on a trois bosons dans l'état $e$, il y a $4$ possibilités: $0$ boson $\psi_1$ et $3$ bosons $\psi_2$ dans l'état $e$, $1$ boson $\psi_1$ et $2$ bosons $\psi_2$ dans l'état $e$,..., $3$ bosons $\psi_1$ et $0$ boson $\psi_2$ dans l'état $e$.

Merci d'avance (je n'y connais pas grand chose).

YvesM

Bonjour

Je ne comprends pas la question.

Dans la première quantification, on demande : Dans quel état se trouve chaque particule ?

Physiquement, c’est très bien jusqu’au moment où on réalise que c’est très con puisque les particules sont indiscernables. Ainsi l’état $f_1 \times f_2$ décrit le même système que l’état $f_2 \times f_1.$

Dans la seconde quantification, on demande : Combien de particules sont dans chaque état ? 

On a donc traité l’indiscernabilité puisque la question posée est répondue sans discerner les particules.

La question du caractère indiscernable n’est posée que pour un système à plusieurs particules : au moins deux.

Enfin, si la densité lagrangienne ne contient pas de terme d’interaction entre particules, il s’agit d’un système dégénéré sans intérêt comparé au système à une seule particule.

Boson ou fermion c’est d’abord l’aspect symétrique ou antisymétrique de la fonction d’onde à plusieurs particules par rapport au changement de positions de deux particules. Pour les bosons, $f(1,2,x,\dots,y,\dots)=+f(1,2,y,\dots,x,\dots)$ : la fonction d’onde du système est symétrique lorsque les particules en $x,y$ sont échangées. 

Le formalisme de la seconde quantification se moque de la position de chaque particule. Par exemple l’état est $|0,2>$ : pas de particule dans l’état $1$ et $2$ particules dans l’état $2.$

On peut traiter le système avec la première ou la seconde quantification. Mais le formalisme de la première devient vite pénible…

Je ne détaille pas pourquoi je ne comprends pas la question posée. J’espère que ce paragraphe permet de poser une question clairement. 

marco

Merci @YvesM . La seconde quantification permet, lorsque l'on à l'équation décrivant l'évolution d'une particule, d'obtenir l'équation d'évolution d'un nombre aussi grand que l'on veut de particules de même type (avec, en plus, les absorptions et émissions si il y a des termes d'interaction avec d'autres types de particules). Donc je me demandais si (après la secondes quantification) la théorie que l'on obtient en partant de deux particules de même type, était la même que celle que l'on obtient en partant d'une seule particule. Vu que dans les deux cas, la théorie décrit l'équation d'un nombre aussi grand que l'on veut de particules (de même type).