Développement leçon 120 par Pandou

gebrane

Bonjour
Vous trouvez ci-joint le développement de la leçon 120 par Pandou, auteur du corrigé de Maths A X 2023. Il est vraiment riche. Je trouve jolis les lemmes 30 et 32.

NicoLeProf

Intéressant et riche, d'un très haut niveau aussi donc si c'est pour un oral de l'interne : à raccourcir et bien s'assurer que l'on sait faire les différentes preuves du cours je pense.

Autre remarque : le jury va sans doute critiquer la définition 1 si elle est laissée comme ceci lors de la présentation du plan en disant que ce n'est pas une définition mais plutôt une "propriété-définition". ^^'

Barry

Même pour l'interne, je trouve qu'il n'y aurait pas grand chose à retirer dans ce plan, si ce n'est le développement I et la partie applications à modifier : il y a beaucoup de résultats classiques. Mais globalement ses plans semblent de très haut niveau, comme beaucoup de ceux du site agreg-maths (mais ça, ce n'est pas la faute du site : chacun est libre de contribuer en publiant ses plans).

OShine

Je comprends quasiment tout ce qui est écrit sauf la partie sur les groupes abéliens finis donc je pense que c'est du niveau de l'interne pour les tous meilleurs candidats, si on enlève la structure des groupes abéliens finis (hors programme).
Après je ne me risquerais pas à présenter l'application sur $SO_2(\mathbf{F}_q)$,

gebrane

Dans ce cas démontre  moi le lemme 32  

etanche

Les autres développements de Pandou sont ici https://agreg-maths.fr/users/44692

OShine

gebrane a dit :

Dans ce cas démontre  moi le lemme 32  

Lambda n'est pas défini je ne vais pas démontrer un lemme mal écrit.

Dom

En effet certains énoncés sont mal rédigés. 

Le lemme 30 met tout de même sur la voie.

gebrane

Je te reformule le lemme 32

Démontre  pour tout k impair que $$2^{k+2}\mid (5^{2^k}-1).$$

Dom

Du coup tu as un $n$ qui n’est pas encore né. 

gebrane

Dom coquille corrigée, si la question t’intéresse tu peux l'attaquer

Rescassol

Bonne nuit,

Une récurrence utilisant $5^{2^{k+1}}-1=(5^{2^k}-1)(5^{2^k}+1)$
Et pourquoi $k$ impair ?

Cordialement,
Rescassol

gebrane

@Rescassol Bonsoir

Tu as vu le danger de présenter ce lemme de cette façon devant un jury, Ils pourraient  poser la question de :  pourquoi k doit être impair.

Je pense que le résultat est vrai en remplaçant 5 par un nombre impair. Plus précisément : 

Pour tout $a\in\mathbb N$ impair et pour tout $k\in \mathbb N^*$ , on a $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. (faux  pour $k=0$ et $a=3$).

On peut utiliser la récurrence sur $k$ de Rescassol :

La propriété est vraie pour $k=1$.

 Supposons que $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. Alors, on peut écrire $a^{2^{k+1}}-1=\left(a^{2^k}-1\right)\left(a^{2^k}+1\right)$. Par hypothèse de récurrence, on a $2^{k+2}\mid (a^{2^k}-1)$. Comme $a^{2^k}+1$ est pair, on a $2.2^{k+2}=2^{k+3}\mid (a^{2^{k+1}}-1)$.

noobey

C'est $\lambda$ qui doit être impair

gebrane

Remarque pertinente merci noobey