Le foncteur gr

Amédé

Bonsoir,
je ne retrouve plus la preuve de :
Si $f:V\rightarrow W$ est un morphisme d'espaces vectoriels filtrés. Si le morphisme $gr(f):gr(V)\rightarrow gr(W)$ est un isomorphisme alors $f$ est un isomorphisme. Peut-on m'indiquer une référence ? Je sais que l'on passe par les catégories, mais je n'arrive plus à retrouver la référence que j'avais.
Merci.

Calli

Bonjour,
Est-ce que tu peux dire ce qu'est gr ?

Math Coss

Et au passage par quoi est indexée la filtration : $\N$ ?

Amédé

Bonjour

@Calli c'est le morphisme gradué associé à $f$.

@Math Coss. Filtration indexé par $\N$ ou une filtration complète et exhaustive.

J'ai réussi par récurrence. Mais je suis persuadé que j'ai vu passer une preuve qui utilise les foncteurs. 

Calli

Ça m'étonnerait, gr est un foncteur pas un morphisme...   
Comme je n'ai pas de définition de gr, j'essaie de lire dans l'esprit d'Amédé et je dis : si $\Bbb N$ on itère le lemme des 5, mais si $\Bbb Z$ par exemple c'est faux. Je lance ça au pif.

Amédé

oui ok gr est un foncteur. Mais $gr(f):gr(V)\longrightarrow gr(W) $ est un morphisme d'espaces gradués. Pour $\overline{v}\in V_i/V_{i-1}$, $gr(f)(\overline{v})=f(v)+W_{i-1}$ où $v$ est un représentant de $\overline{v}$ dans $V_i$. La proposition dit que si $gr(f)$ est un isomorphisme alors $f$ est un isomorphisme.

Calli

Ok. C'est plus la définition de $gr(V)$ et $gr(W)$ qui me posait question en fait. Dans ce cas je crois qu'un message précédent est correct et que la propriété est fausse pour une filtration indexée par $\Bbb Z$ (prendre $V_i =W_i =$ un ev fixé non nul pour tout $i\in\Bbb Z$ et $f=0$). Donc il faut probablement faire une récurrence à un moment pour montrer la propriété spécifiquement sur $\Bbb N$ non ?

Barjovrille

Bonjour, une propriété qui peut aider
Soit $F$ un foncteur pleinement fidèle alors pour tout morphisme $f$, $F(f) $ est un isomorphisme si et seulement si $f$ est un isomorphisme. 

Amédé

@Barjovrille Merci! En fait je ne suis pas une personne orienté catégories. J'ai juste besoin de cette propriété pour démontrer un isomorphisme. Mais je veux quand même savoir d'où ça vient.

Je viens de voir que l'on peut montrer l'injectivité sans récurrence par l'absurde.

On suppose que $gr(f)$ est un isomorphisme. Soit $x\in \ker(f)$. On suppose que $x\not=0$, c'est-à-dire que $f$ n'est pas injective. Soit $k$ le plus petit entier tel que $x\in V_k$ (existe car $V=\bigcup\limits_{n\in\N}V_n$). Alors $\overline{x}$ est non nul dans $V_k/V_{k-1}$. Puisque $gr(f)$ est injective alors $gr(f)(\overline{x})\not=0$. Donc $f(x)+W_{k-1}\not=W_{k-1}$. Donc $f(x)\not=0$. Ce qui est une contradiction. Donc $f$ est injective.

Correct ?

Math Coss

En gros, une matrice triangulaire par blocs est inversible ssi les blocs diagonaux le sont...

Amédé

Oui en gros

Pour la surjectivité j'ai finalement trouvé aussi. Mais je suis sûr qu'il y a une preuve catégorielle qui tue. Merci à tous.