Théorème du rang (oral 1 agrégation interne 2023) refusé

Dial

Bonjour à tous, voilà je viens d’être refusé à l'agreg interne. j'ai eu 8.2 à l'oral 1 et 18.20 à l'oral 2, je suis refusé à 0,14 près.

Bref, lors de l'oral 1, leçon 144 notion de rang en algèbre linaire et bilinéaire. je fais ma leçon orale, le développement je fais une application du théorème du rang : matrice de Gram avec une application sur les cercle tangents.

Ensuite arrive les questions du jury, le plan pas de question, sur le développement quelques questions sur la dimension de la  matrice de Gram. Comme c'était la matrice de la famille (x1, ... , xp) de vecteurs, j'ai dit c'est une matrice dans Mp(IR), ensuite question sur le théorème du rang, je l'écris comme suit : soit u dans L(E,F) alors rg(u) + dim ker(u) = dim E,  qu'ai-je fait ? Je ne sais pas, et voilà la fameuse question quel est le rôle de F, je réponds qu'il n'intervient pas dans le théoreme du rang ? Vous êtes sûr ? Je réfléchis encore, dans ma tête à part lors de la démo où on construit la base de E en complétant celle du ker, je ne vois pas,  j'écris l'isomorphisme E/ ker(u) isomorphe à Imu, pour justifier que je ne vois pas ou intervient la dimension de F. nous avons discuté plus de la moitié du temps du jury là dessus, à la fin j'ai dit je ne voyais pas. Ensuite nous sommes passés à autre chose, ils m'ont demandé de démontrer un théorème de mon plan, chose que j'ai fait,  on m'a ensuite demandé pour une forme linéaire pourquoi Im (u) était K, j'ai répondu. Donc j'écris sur ce forum, pour juste avoir une explication s'il y en a, sur cette histoire de F qui intervient dans le théorème du rang.
Merci à vous.

Heuristique

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est ce que le jury attendait mais le rang de $u$ est la dimension de $Im(u)$ qui est un sous-espace vectoriel de $F$. Tu peux notamment obtenir des inégalités en majorant le rang de $u$ par $\dim(F)$ lorsque $F$ est de dimension finie. Je dirais donc que $F$ intervient indirectement via l'un de ses sous-espaces vectoriels, mais c'est chercher loin... J'avoue louper sûrement quelque chose car je ne vois pas vraiment ce que le jury attendait dans ce que tu nous racontes...

gai requin

Tu as oublié de dire ce que sont $E$ et $F$, à savoir des espaces vectoriels sur un même corps $K$ avec $E$ de dimension finie.

Dial

j'ai dit tout cela, par cela que j'ai commencé mon exposé, en plus le théorème du rang est vrai même en dimension infinie, je m'attendais à cette demande qui n'est pas venue.  En début de ma leçon j'ai dit E et F sont des K ev. de dimension  finie, puisque je comptais rester qu'en dim finie.

Merci pour ta réponse.

Dial

Heuristique
je te remercie pour ta réponse, que je sois refusé oui cela me fruste, mais je veux simplement comprendre pour ne pas retomber dans la même erreur.  j'avoue je n'ai pas donné une réponse de ce genre, j'ai même cru que je m'étais trompé sur la dimension de ma matrice de Gram. Sincèrement je ne comprends pas. En tout cas merci.

guiguiche

Le théorème du rang n'est pas vrai lorsque E n'est pas de dimension finie !

SkyMtn

Si, le théorème du rang reste vrai en dimension infinie. Par contre, il n'a aucun intérêt à cause de l'arithmétique des cardinaux (infinis).

Foys

Le théorème du rang énoncé avec $u \in L(E,F)$ ne fait même pas intervenir $F$ dans sa conclusion. La seule chose qui compte au sujet de $F$ est qu'il s'agit d'un espace vectoriel (pour donner un sens à "$u$ est une application linéaire entre espaces vectoriels"). Apparemment la difficulté de recruter du personnel compétent finit par atteindre les jurys (pas plus que les profs leurs membres actuels ou potentiels ne poussent sur les arbres).

Attendez-vous à payer très très cher l'éradication des démonstrations formelles dans les programmes de maths français au nom du progressisme, qui a été conduite depuis des décennies maintenant ("mais non le niveau n'a pas baissé, t'es juste réac" va-t-on encore me dire).

Dom

Ne nous avançons pas sur le jury en ne regardant juste cet épisode. 

Peut-être qu’au fond de la salle, n’importe quel auditeur aurait rapporté un autre descriptif.

Quand on est le candidat, on a un paradigme qui parfois empêche de répondre à des questions simples. Subitement, au fond de la salle, on sait y répondre.

De même, on raconte l’histoire d’une manière alors qu’on la raconterait autrement du fond de la salle. 

Et tout cela avec une authentique sincérité.

C’est très frustrant de ne pas comprendre ce qui était attendu sur cette question sur $F$. Ça j’en suis persuadé. Mais je ne crois pas que ce ne soit que cela qui ait fait descendre la note. Par exemple, il est possible que le plan, si correct soit-il, ait été peu ambitieux au regard des autres candidats. Ou d’autres choses moins quantifiables (attitude, posture, sentiment du candidat qui répond de manière hasardeuse, que sais-je encore…).
Mon message n’est pas là pour te critiquer, Dial. Plutôt pour te dire de passer à autre chose. S’il n’y avait qu’un milliardième de point manquant, pourquoi ne manquerait-il qu’à cet oral et pas sur l’autre oral ou les deux écrits ?
Quand on flirte avec la barre, c’est rageant… alors on regarde la pire des notes et on se refait le film. Ok, c’est un réflexe ordinaire. Mais finalement, tout en étant rageant, c’est aussi rassurant pour la suite. Tu seras dans le coup la prochaine fois. Et tu passeras sans toucher la barre. 

Bon courage.

Julia Paule

@Dial Vu le nombre de fautes d'orthographe qui ont été corrigées dans tes messages (probablement par AD), ne serait-ce pas ça tout simplement qui a été sanctionné ? 
Ils n'auraient pas voulu laisser passer quelqu'un qui en faisait autant, car en maths, on n'y comprend plus rien si c'est bourré de fautes d'orthographe.

Amédé

Parfois le jury a des questions bizarres.

Une réponse possible, c'est que dans une des démonstration de ce théorème on peut utiliser une sous-famille de $u(e_i)_{i\in I}$ pour obtenir une base de $Im(u)\subset F$. Après, il faut parfois faire reformuler les questions, ça débloque et ça fait gagner du temps pour répondre à plus de questions sans rester 30 min sur une seule question. 

math2

Si le reste est très bien, ne pas répondre à une seule question du jury n'empêche pas d'avoir une très bonne voire une excellente note. Je suis bien placé pour le savoir, j'ai eu 18,75 à un oral (de l'externe) où je n'avais pas répondu à une question, et après j'avais fini par apprendre que la seule chose qui avait déplu au jury était le fait qu'aspect soit beaucoup moins présent dans ma leçon (ce qui au demeurant était exact), ils n'avaient même pas noté que je n'avais pas su répondre à leur question ... Ce n'est donc clairement pas le fait de ne pas répondre à une question qui empêche une note excellente.

Effectivement sans avoir assisté à l'oral, et donc sans avoir vu tes réactions, je n'en sais rien.

Je ne vois pas non plus ce qui était attendu, même si j'aurais effectivement répondu ce que dit Amédée (et c'est intéressant, cela amène après vers d'autres questions). Je me demande si tout simplement tu n'aurais pas écrit $F$ au lieu de $E$ ; c'est une manière discrète de suggérer de relire ton énoncé, et parfois certains jurés posent la question de la coquille de manière un peu détournée.

D'autre part, à supposer qu'un juré ait déliré avec une question qui est une erreur, voire infaisable, en général ses collègues en discutent avec lui, ce qui permet soit de passer à autre, soit de reformuler la question. Donc là j'avoue être surpris, car ton ressenti part de l'idée d'une "erreur" d'un juré (ce qui peut arriver, personne n'est parfait), et que cette "erreur" n'aurait été pointée par aucun des deux autres, ce qui pour le coup devient hautement improbable.

Dial

Dom a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2424021/#Comment_2424021

Merci pour intervention, je n'arrête pas de me faire le film de mon passage. sincèrement le seul point où nous sommes restés plus de la moitié de leur temps d'intervention était sur cette question, soit deux choses l'une je n'ai vraiment pas compris ce qu'ils voulaient.  Le week-end m'aidera à digérer. Je voulais juste comprendre si j'avais raté une nouveauté sur le théorème du rang qui faisait intervenir F, pour ne pas refaire la même chose l'an prochain si j'ai l'occasion d'être encore admissible.

Dial

Julia Paule a dit :

@Dial Vu le nombre de fautes d'orthographe qui ont été corrigées dans tes messages (probablement par AD), ne serait-ce pas ça tout simplement qui a été sanctionné ? 
Ils n'auraient pas voulu laisser passer quelqu'un qui en faisait autant, car en maths, on n'y comprend plus rien si c'est bourré de fautes d'orthographe.

Salut Julia, je peux t'assurer que mes notes étaient sans fautes, je l'avoue lorsque j'ai écrit sur le forum, j'étais dans une telle colère, surtout une telle incompréhension.  J'ai écrit je ne me suis pas relu. Je voulais juste savoir s'il y avait une version du théorème du rang que j'ai dû louper quelque part. Merci pour ta remarque.

Alain24

@Dial Comment démontres-tu le théorème du rang en dimension infinie?

Amédé

@Alain24 c'est pas une conséquence du premier théorème d'isomorphisme?

marc0075

Dial a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334175/theoreme-du-rang-oral-1-agregation-interne-2023-refuse

[Inutile de recopier le message initial. AD]

18,2 à l'oral2  c'est une excellente note....  tu devais ne pas avoir de point d'avance avec les écrits ???

OShine

Soit $E$ et $F$ deux $K$ espaces vectoriels quelconques et $u \in \mathcal L(E,F)$.
On dit que $u$ est de rang fini lorsque son image $Im u$ est de dimension finie. 
On appelle rang de $u$ noté $rg(u)$ la dimension de $Im(u)$.

Le théorème suivant est valable en dimension infinie : 
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $u \in \mathcal L(E,F)$. Si $E_0$ est un supplémentaire de $\ker u$ dans $E$ alors $u$ induit un isomorphisme de $E_0$ sur $Im(u)$.
Il suffit de considérer l'application linéaire $v : E_0 \longrightarrow Im(u)$ définie par $v(x)=u(x)$.

Théorème du rang : 
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $u$ une application linéaire de $E$ dans un espace vectoriel $F$. Alors $u$ est de rang fini et $\dim E=rg(u)+ \dim (\ker u)$.

NicoLeProf

Effectivement, l'auteur a dû passer le concours dans le privé : où la barre était bien plus haute que dans le public cette année !

gai requin

Théorème du rang : Pour tous $k$-espaces vectoriels $E,F$ et $u\in\mathcal L(E,F)$, on a :$$\mathrm{rang}(u)=\dim(E/\ker u).$$