Un théorème de Lindström

Martial

Bonjour à tous

Je cherche une preuve du théorème suivant :

"Soit $T$ une théorie inductive, $\kappa$-catégorique en un certain cardinal $\kappa$ supérieur ou égal à la cardinalité du langage, et ne possédant que des modèles infinis. Alors, $T$ est modèle-complète".

Une théorie $T$ est inductive ssi toute réunion croissante de modèles de $T$ est encore modèle de $T$, ce qui revient à dire qu'elle peut être axiomatisée par des axiomes du type $\forall \exists$. Une théorie $T$ est modèle-complète ssi tout plongement entre deux modèles de $T$ est élémentaire.

En fait ce que je cherche surtout c'est une référence sur le sujet, car la preuve détaillée doit faire une dizaine de pages. A vrai dire cela me satisferait amplement de savoir le faire quand le langage est dénombrable. Le malheur c'est que quand je tape "Théorème de Lindström" dans google je ne tombe que sur des papiers qui parlent d'un théorème qui dit que le calcul des prédicats est maximal parmi les logiques qui blablabla, et ce n'est pas du tout ça qui m'intéresse.

Pour info, du théorème ci-dessus on déduit facilement que la théorie des corps algébriquement clos est modèle-complète, ce qui permet de récupérer pour ainsi dire gratuitement le théorème des zéros de Hilbert sans faire une once d'algèbre.

Merci d'avance

Martial.

Poirot

Page 35 de ce document, où l'énoncé est appelé "Lindström's test". Peut-être que cet autre mot-clé te donnera plus de résultat.

Martial

Merci Poirot pour ce document. Il semble que tu aies trouvé là une perle rare. Apparemment les auteurs donnent même la preuve du Lindström's test... Mais évidemment il faut se farcir tout le papier. Bon, je vais voir ce que je peux en tirer.

Pour la petite histoire j'ai une preuve dans dans mes archives, qui a été rédigée en 2003 à partir de notes de cours de Gabriel Sabbagh. Mais le problème c'est que Sabbagh ne prend pas la même définition que tout le monde du diagramme simple et du diagramme élémentaire, donc j'ai du mal à y retrouver mes petits.

En tous cas, merci pour l'astuce et pour le papier !